Determine quais equações abaixo são exatas. Para as exatas encontre a solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para verificar se é uma equação diferencial exata e, sendo exata, encontrar sua solução geral. Vamos usar o método de equações diferenciais exatas: reescrever a equação na forma
verificar se
e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
de onde vem a solução
.
Passo 2
Reescrevendo
em forma diferencial:
Logo,
Passo 3
Verificamos a condição de exatidão:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Procuramos
tal que
Integrando em
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Impondo agora
vemos que
Logo
(podemos absorver a constante em
).
Passo 6
Portanto a função potencial é
e a solução geral da equação exata é