Determine quais equações abaixo são exatas. Para as exatas encontre a solução.
2 t-sen x d xd t=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
2t - sin x ,dxdt = 0
e pede para verificar se é uma equação diferencial exata e, sendo exata, encontrar sua solução geral. Vamos usar o método de equações diferenciais exatas: reescrever a equação na forma
M(t,x),dt + N(t,x),dx = 0,
verificar se partial M/partial x = partial N/partial t e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi(t,x) tal que
partial phipartial t=M, partial phipartial x=N,
de onde vem a solução phi(t,x)=C.

Passo 2

Reescrevendo
2t - sin x ,dxdt = 0
em forma diferencial:
2t,dt - sin x,dx = 0
Logo,
M(t,x) = 2t, N(t,x) = -sin x

Passo 3

Verificamos a condição de exatidão:
partial Mpartial x = partialpartial x(2t) = 0, partial Npartial t = partialpartial t(-sin x) = 0
Como partial M/partial x = partial N/partial t, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos phi(t,x) tal que
partial phipartial t = M(t,x) = 2t
Integrando em t:
phi(t,x) = integral 2t,dt = t^2 + h(x),
onde h(x) é uma função a determinar.

Passo 5

Impondo agora
partial phipartial x = N(t,x) = -sin x,
vemos que
ddxl(t^2 + h(x)r) = h'(x) = -sin x
Logo
h(x) = integral -sin x,dx = cos x + constante,
(podemos absorver a constante em C).

Passo 6

Portanto a função potencial é
phi(t,x) = t^2 + cos x,
e a solução geral da equação exata é
phi(t,x) = C

Resposta

t^2 + cos x = C

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