Em cada item abaixo a matriz completa associada a um sistema linear foi transformada por operações elementares para a forma a seguir. Determine se o sistema é possível, justifique a sua resposta.
\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & 7 \\\ 0 & 1 & -7 & 3 \\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz completa escalonada
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 7 \\[6pt] 0 & 1 & -7 & 3 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
que representa um sistema com três incógnitas. Precisamos verificar se há alguma linha contraditória (do tipo 0= b com b\neq0) e comparar o posto da matriz de coeficientes com o número de incógnitas para determinar se o sistema é possível e se tem solução única ou infinitas.]

Passo 2

Observamos pivôs nas colunas 1 e 2 (linhas 1 e 2) e uma linha toda zero na linha 3, que equivale a
0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = 0.
Não há contradição. Logo o posto da matriz de coeficientes é
\rank(A)=2
e o posto da matriz aumentada é
\rank([A\mid b])=2.

Passo 3

Como não existe nenhuma linha da forma
0\quad0\quad0\mid b \quad\text{com}\quad b\neq0,
o sistema é consistente. Além disso, \rank(A)=2 é menor que o número de incógnitas 3, o que implica que há graus de liberdade e, portanto, infinitas soluções.

Resposta

O sistema é possível e indeterminado (tem infinitas soluções), pois \rank(A)=\rank([A\mid b])=2<3.

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