Em cada item abaixo a matriz completa associada a um sistema linear foi transformada por operações elementares para a forma a seguir. Determine se o sistema é possível, justifique a sua resposta.
\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & -7 & 3 \\\ 0 & 1 & -3 & 2 \\\ 0 & 0 & 1 & -4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado mostra a forma escalonada da matriz completa (matriz aumentada) de um sistema linear de três incógnitas. O conteúdo aqui é análise de consistência de sistema a partir da forma escalonada reduzida, e depois usar retro-substituição para encontrar a solução, se existir.

Passo 2

Vamos interpretar cada linha da matriz aumentada
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -7 & 3\\\\ 0 & 1 & -3 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end{pmatrix}
como uma equação do sistema em (x_{1},x_{2},x_{3}):
Linha 1: \,x_{1}-7x_{3}=3
Linha 2: \,x_{2}-3x_{3}=2
Linha 3: \,x_{3}=-4

Passo 3

Para verificar se o sistema é possível, checamos se há alguma linha do tipo
0\;x_{1}+0\;x_{2}+0\;x_{3}=b\quad\text{com }b\neq0.
Como não existe nenhuma linha assim, o sistema é consistente (possível).

Passo 4

Agora encontramos a solução por retro-substituição:
Da linha 3 vem
x_{3}=-4.
Substituindo em linha 2:
x_{2}-3(-4)=2 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}+12=2 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=-10.
Substituindo em linha 1:
x_{1}-7(-4)=3 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}+28=3 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=-25.

Resposta

O sistema é possível e determinado, com única solução
(x_{1},x_{2},x_{3})=(-25,\,-10,\,-4).

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