Determine se os seguintes sistemas são possíveis.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=0 \\\ 2 x_{2}-8 x_{3}=8 \\\ -4 x_{1}+5 x_{2}+9 x_{3}=-9\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de três equações e três incógnitas
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0,\\\\ 2x_{2}-8x_{3}=8,\\\\ -4x_{1}+5x_{2}+9x_{3}=-9, \end{cases}
e pede para determinar se ele é possível (isto é, se é consistente) e, em caso afirmativo, encontrar a solução. Vamos usar o método da substituição (eliminação de Gauss simplificada).

Passo 2

Isolamos x_{1} na primeira equação:
x_{1}=-2x_{2}-x_{3}.

Passo 3

Substituímos essa expressão de x_{1} na terceira equação. A terceira equação era
-4x_{1}+5x_{2}+9x_{3}=-9.
Fazendo x_{1}=-2x_{2}-x_{3} temos
-4(-2x_{2}-x_{3})+5x_{2}+9x_{3}=-9 \quad\Longrightarrow\quad 8x_{2}+4x_{3}+5x_{2}+9x_{3}=-9
\Longrightarrow\quad 13x_{2}+13x_{3}=-9 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}+x_{3}=-\tfrac{9}{13}.

Passo 4

A segunda equação original é
2x_{2}-8x_{3}=8 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}-4x_{3}=4.
Então obtemos o sistema em x_{2},x_{3}:
\begin{cases} x_{2}-4x_{3}=4,\\\ x_{2}+x_{3}=-\tfrac{9}{13}. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
(x_{2}-4x_{3})-(x_{2}+x_{3})=4-(-\tfrac{9}{13}) \;\Longrightarrow\; -5x_{3}=\tfrac{61}{13} \;\Longrightarrow\; x_{3}=-\tfrac{61}{65}.
Em seguida
x_{2}=-\tfrac{9}{13}-x_{3} =-\tfrac{9}{13}+\tfrac{61}{65} =\tfrac{16}{65}.

Passo 5

Finalmente voltamos a x_{1}=-2x_{2}-x_{3}:
x_{1}=-2\cdot\tfrac{16}{65}-\bigl(-\tfrac{61}{65}\bigr) =-\tfrac{32}{65}+\tfrac{61}{65} =\tfrac{29}{65}.
Como encontramos (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaz todas as equações, o sistema é possível e tem solução única.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})=\Bigl(\tfrac{29}{65},\,\tfrac{16}{65},\,-\tfrac{61}{65}\Bigr).

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