Indique qual operação elementar foi aplicada nas linhas da matriz à esquerda para obter a matriz à direita:
a)
\left[\begin{array}{ccccc:c} 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\\\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\\\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \end{array}\right] \sim \sim \sim \sim \hookrightarrow\left[\begin{array}{ccccc:c} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\\\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \end{array}\right]
b)
\left[\begin{array}{ccccc:c} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\\\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \end{array}\right] \sim \sim \sim \sim \hookrightarrow\left[\begin{array}{ccccc:c} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\\\ 0 & -2 & 4 & -4 & -2 & 6 \end{array}\right]
c)
\left[\begin{array}{ccccc:c} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\\\ 0 & -2 & 4 & -4 & -2 & 6 \end{array}\right] \sim \sim \sim \sim \hookrightarrow\left[\begin{array}{ccccc:c} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 8 \end{array}\right]
d)
\left[\begin{array}{ccccc:c} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 8 \end{array}\right] \sim \sim \sim \sim \hookrightarrow\left[\begin{array}{ccccc:c} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right]
e)
\left[\begin{array}{ccccc:c} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right] \sim \sim \sim \sim \hookrightarrow\left[\begin{array}{ccccc:c} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 0 & -21 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right]
f)
\left[\begin{array}{ccccc:c} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 0 & -21 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right] \sim \sim \sim \sim \hookrightarrow\left[\begin{array}{ccccc:c} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right]
g)
\left[\begin{array}{ccccc:c} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right] \sim \sim \sim \sim \hookrightarrow\left[\begin{array}{ccccc:c} 3 & -7 & 8 & -5 & 0 & -23 \\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right]
h)
\left[\begin{array}{ccccc:c} 3 & -7 & 8 & -5 & 0 & -23 \\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right] \sim \sim \sim \sim \hookrightarrow\left[\begin{array}{ccccc:c} 3 & 0 & -6 & 9 & 0 & -72 \\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right]
i)
\left[\begin{array}{ccccc:c} 3 & 0 & -6 & 9 & 0 & -72 \\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right] \sim \sim \sim \sim \hookrightarrow\left[\begin{array}{ccccc:c} 1 & 0 & -2 & 3 & 0 & -24 \\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para identificar, em cada seta, qual operação elementar sobre linhas (troca de linhas, multiplicação de uma linha por escalar, ou combinação linear de linhas) transforma a matriz da esquerda na da direita. Esse é um procedimento típico de eliminação de Gauss, onde usamos três tipos de operações elementares em matrizes aumentadas.

Passo 2

a) Para ir de
\begin{pmatrix} 0 & 3 & -6 & 6 & 4 &:-5\\\\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 &:9\\\\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 &:15 \end{pmatrix} \quad\longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 &:9\\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 &:-5\\\\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 &:15 \end{pmatrix}
foi simplesmente trocada a linha 1 com a linha 2.
Operação: R_{1}\leftrightarrow R_{2}.

Passo 3

b) Para ir de
\begin{pmatrix} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 &:9\\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 &:-5\\\\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 &:15 \end{pmatrix} \quad\longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 &:9\\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 &:-5\\\\ 0 & -2 & 4 & -4 & -2 &:6 \end{pmatrix}
substituímos a linha 3 pela diferença entre a linha 3 original e a linha 1.
Operação: R_{3}\gets R_{3}-R_{1}.

Passo 4

c) Para ir de
\begin{pmatrix} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 &:9\\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 &:-5\\\\ 0 & -2 & 4 & -4 & -2 &:6 \end{pmatrix} \quad\longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 &:9\\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 &:-5\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 &:8 \end{pmatrix}
substituímos a linha 3 por 3 vezes a linha 3 antiga somada a 2 vezes a linha 2.
Operação: R_{3}\gets 3\,R_{3}+2\,R_{2}.

Passo 5

d) Para ir de
\begin{pmatrix} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 &:9\\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 &:-5\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 &:8 \end{pmatrix} \quad\longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 &:9\\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 &:-5\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &:4 \end{pmatrix}
dividimos a linha 3 por 2.
Operação: R_{3}\gets \tfrac12\,R_{3}.

Passo 6

e) Para ir de
\begin{pmatrix} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 &:9\\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 &:-5\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &:4 \end{pmatrix} \quad\longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 &:9\\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 0 &:-21\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &:4 \end{pmatrix}
zeramos o coeficiente da coluna 5 na segunda linha subtraindo 4 vezes a linha 3 da linha 2.
Operação: R_{2}\gets R_{2}-4\,R_{3}.

Passo 7

f) Para ir de
\begin{pmatrix} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 &:9\\\\ 0 & 3 & -6 & 6 & 0 &:-21\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &:4 \end{pmatrix} \quad\longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 &:9\\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 &:-7\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &:4 \end{pmatrix}
dividimos a linha 2 por 3.
Operação: R_{2}\gets \tfrac13\,R_{2}.

Passo 8

g) Para ir de
\begin{pmatrix} 3 & -7 & 8 & -5 & 8 &:-23\\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 &:-7\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &:4 \end{pmatrix} \quad\longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 3 & -7 & 8 & -5 & 0 &:-23\\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 &:-7\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &:4 \end{pmatrix}
(Nota: aqui já se assuma o resultado do passo f) na entrada -23.) Eliminamos o 8 na coluna 5 da linha 1 subtraindo 8 vezes a linha 3 da linha 1.
Operação: R_{1}\gets R_{1}-8\,R_{3}.

Passo 9

h) Para ir de
\begin{pmatrix} 3 & -7 & 8 & -5 & 0 &:-23\\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 &:-7\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &:4 \end{pmatrix} \quad\longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 3 & 0 & -6 & 9 & 0 &:-72\\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 &:-7\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &:4 \end{pmatrix}
eliminamos o -7 na coluna 2 da linha 1 somando 7 vezes a linha 2.
Operação: R_{1}\gets R_{1}+7\,R_{2}.

Passo 10

i) Para ir de
\begin{pmatrix} 3 & 0 & -6 & 9 & 0 &:-72\\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 &:-7\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &:4 \end{pmatrix} \quad\longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 & 0 &:-24\\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 &:-7\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &:4 \end{pmatrix}
dividimos a linha 1 por 3.
Operação: R_{1}\gets \tfrac13\,R_{1}.

Resposta

a) R_{1}\leftrightarrow R_{2}.
b) R_{3}\gets R_{3}-R_{1}.
c) R_{3}\gets 3\,R_{3}+2\,R_{2}.
d) R_{3}\gets \tfrac12\,R_{3}.
e) R_{2}\gets R_{2}-4\,R_{3}.
f) R_{2}\gets \tfrac13\,R_{2}.
g) R_{1}\gets R_{1}-8\,R_{3}.
h) R_{1}\gets R_{1}+7\,R_{2}.
i) R_{1}\gets \tfrac13\,R_{1}.

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