Determine se os seguintes sistemas são possíveis.
\left\{\begin{array}{l}x_{2}-4 x_{3}=8 \\\ 2 x_{1}-3 x_{2}+2 x_{3}=1 \\\ 5 x_{1}-8 x_{2}+7 x_{3}=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o seguinte sistema linear, e pede para verificar se ele possui solução (isto é, se é possível):
\begin{cases} x_{2}-4x_{3}=8,\\\\ 2x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=1,\\\\ 5x_{1}-8x_{2}+7x_{3}=1. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por substituição, analisando consistência das equações.

Passo 2

Da primeira equação isolamos x_{2}:
x_{2}=8+4x_{3}.

Passo 3

Substituímos x_{2}=8+4x_{3} na segunda equação 2x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=1:
2x_{1}-3(8+4x_{3})+2x_{3}=1
2x_{1}-24-12x_{3}+2x_{3}=1
2x_{1}-24-10x_{3}=1
2x_{1}=25+10x_{3}
x_{1}=\frac{25+10x_{3}}{2}.

Passo 4

Substituímos agora x_{1}=\tfrac{25+10x_{3}}{2} e x_{2}=8+4x_{3} na terceira equação 5x_{1}-8x_{2}+7x_{3}=1:
5\biggl(\frac{25+10x_{3}}{2}\biggr)-8(8+4x_{3})+7x_{3}=1.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 2:
\frac{125+50x_{3}}{2}-64-32x_{3}+7x_{3}=1
\frac{125+50x_{3}-128-64x_{3}+14x_{3}}{2}=1
\frac{-3}{2}=1.
Isso é uma contradição, pois -\tfrac{3}{2}\neq1. Logo não existe valor de x_{3} que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

O sistema é impossível (não possui solução).

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