Sejam
Mostre que
e
são subespaços de
.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que
e
são subespaços do espaço vetorial
, onde
e
Informações relevantes dadas:
- Um elemento genérico de
é com . -
é o subconjunto formado por todos esses polinômios cujos coeficientes satisfazem a condição linear . -
é o subconjunto formado por todos esses polinômios que satisfazem as duas condições lineares e .
A missão: provar, passo a passo, que cada um desses conjuntos é um subespaço (i.e., é não vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar).
Passo 2
Lembrete didático: o que significa ser subespaço linear de
?
Um subconjunto de um espaço vetorial
é subespaço se, e somente se:
Um subconjunto
-
não é vazio (suficiente mostrar que o polinômio zero pertence a ); - para quaisquer
, então (fechamento por soma); - para qualquer
e qualquer , então (fechamento por escalares).
Vou aplicar exatamente esses três itens ae a . Vou explicar cada verificação detalhadamente e mostrar os cálculos das condições sobre os coeficientes.
Passo 3
Verificação para
: mostrarei que
satisfaz os três itens acima.
a) Não vazio: o polinômio zero tem todos os coeficientes iguais a zero, ou seja
. Então para o polinômio zero temos
logo o polinômio zero pertence a
. Assim
não é vazio.
b) Fechamento por soma: tome dois polinômios quaisquer em
,
Pelo fato de estarem em
sabemos que
A soma é
Agora verificamos a condição de
nos coeficientes da soma:
Portanto
satisfaz
(no sentido dos coeficientes somados) e assim
. Isso prova fechamento por soma.
Passo 4
Continuação da verificação para
:
c) Fechamento por multiplicação por escalar: seja
e
, então
. O polinômio
tem coeficientes
. Verificamos:
Logo
também satisfaz a condição e pertence a
. Isso prova fechamento por escalares.
Com (a), (b) e (c) concluímos que
é um subespaço de
.
Passo 5
Verificação para
: farei as mesmas três checagens.
a) Não vazio: o polinômio zero tem
. Avaliando as condições de
,
portanto o polinômio zero pertence a
. Assim
não é vazio.
Passo 6
Continuação para
:
b) Fechamento por soma: tome
Como pertencem a
, temos
e
A soma é
Verificamos as duas condições para
:
e
Portanto
. Assim
é fechado por soma.
Passo 7
Continuação para
:
c) Fechamento por multiplicação por escalar: seja
e
, então
O polinômio
tem coeficientes
. Verificamos:
e
Logo
. Assim
é fechado por multiplicação por escalares.
Com (a), (b) e (c) concluímos que
é um subespaço de
.
Passo 8
Comentário conceitual rápido (útil para a prova): ambas as condições definidoras de
e
são equações lineares homogêneas sobre os coeficientes
. Conjuntos definidos por equações lineares homogêneas formam núcleos (kernels) de aplicações lineares (por exemplo,
dado por
tem
). Kernels de aplicações lineares são sempre subespaços; isso é uma alternativa curta para justificar a subespacialidade, mas a prova que fiz nos passos anteriores usa a checagem direta e elementar (zero, soma, escalar), que é o método que você pode aplicar na prova sem complicar.
Resposta
U e W são subespaços de
.