Sejam
\begin{gathered} U=\left\{a+b t+c t^{2}+d t^{3} \in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) ; a+b=0\right\} \\\ W=\left\{a+b t+c t^{2}+d t^{3} \in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) ; b+c-d=0 \text { e } a+b+d=0\right\} \end{gathered}
Mostre que U e W são subespaços de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que U e W são subespaços do espaço vetorial \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), onde
U=\left\{a+b t+c t^{2}+d t^{3}\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \;:\; a+b=0\right\}
e
W=\left\{a+b t+c t^{2}+d t^{3}\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \;:\; b+c-d=0 \text{ e } a+b+d=0\right\}.
Informações relevantes dadas:
  • Um elemento genérico de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) é p(t)=a+bt+ct^{2}+dt^{3} com a,b,c,d\in\mathbb{R}.
  • U é o subconjunto formado por todos esses polinômios cujos coeficientes satisfazem a condição linear a+b=0.
  • W é o subconjunto formado por todos esses polinômios que satisfazem as duas condições lineares b+c-d=0 e a+b+d=0.
    A missão: provar, passo a passo, que cada um desses conjuntos é um subespaço (i.e., é não vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar).

Passo 2

Lembrete didático: o que significa ser subespaço linear de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})?
Um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se:
  1. S não é vazio (suficiente mostrar que o polinômio zero pertence a S);
  2. para quaisquer p,q\in S, então p+q\in S (fechamento por soma);
  3. para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e qualquer p\in S, então \lambda p\in S (fechamento por escalares).
    Vou aplicar exatamente esses três itens a U e a W. Vou explicar cada verificação detalhadamente e mostrar os cálculos das condições sobre os coeficientes.

Passo 3

Verificação para U: mostrarei que U satisfaz os três itens acima.
a) Não vazio: o polinômio zero tem todos os coeficientes iguais a zero, ou seja a=b=c=d=0. Então para o polinômio zero temos
a+b=0+0=0,
logo o polinômio zero pertence a U. Assim U não é vazio.
b) Fechamento por soma: tome dois polinômios quaisquer em U,
p(t)=a+bt+ct^{2}+dt^{3}\in U \quad\text{e}\quad q(t)=a'+b't+c't^{2}+d't^{3}\in U.
Pelo fato de estarem em U sabemos que
a+b=0 \quad\text{e}\quad a'+b'=0.
A soma é
p(t)+q(t)=(a+a')+(b+b')t+(c+c')t^{2}+(d+d')t^{3}.
Agora verificamos a condição de U nos coeficientes da soma:
(a+a')+(b+b')=(a+b)+(a'+b')=0+0=0.
Portanto p+q satisfaz a+b=0 (no sentido dos coeficientes somados) e assim p+q\in U. Isso prova fechamento por soma.

Passo 4

Continuação da verificação para U:
c) Fechamento por multiplicação por escalar: seja \lambda\in\mathbb{R} e p(t)=a+bt+ct^{2}+dt^{3}\in U, então a+b=0. O polinômio \lambda p tem coeficientes \lambda a,\lambda b,\lambda c,\lambda d. Verificamos:
(\lambda a)+(\lambda b)=\lambda(a+b)=\lambda\cdot 0=0.
Logo \lambda p também satisfaz a condição e pertence a U. Isso prova fechamento por escalares.
Com (a), (b) e (c) concluímos que U é um subespaço de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Passo 5

Verificação para W: farei as mesmas três checagens.
a) Não vazio: o polinômio zero tem a=b=c=d=0. Avaliando as condições de W,
b+c-d = 0+0-0=0,\qquad a+b+d=0+0+0=0,
portanto o polinômio zero pertence a W. Assim W não é vazio.

Passo 6

Continuação para W:
b) Fechamento por soma: tome
p(t)=a+bt+ct^{2}+dt^{3}\in W,\qquad q(t)=a'+b't+c't^{2}+d't^{3}\in W.
Como pertencem a W, temos
b+c-d=0,\quad a+b+d=0,
e
b'+c'-d'=0,\quad a'+b'+d'=0.
A soma é
p(t)+q(t)=(a+a')+(b+b')t+(c+c')t^{2}+(d+d')t^{3}.
Verificamos as duas condições para (p+q):
(b+b')+(c+c')-(d+d')=(b+c-d)+(b'+c'-d')=0+0=0,
e
(a+a')+(b+b')+(d+d')=(a+b+d)+(a'+b'+d')=0+0=0.
Portanto p+q\in W. Assim W é fechado por soma.

Passo 7

Continuação para W:
c) Fechamento por multiplicação por escalar: seja \lambda\in\mathbb{R} e p(t)=a+bt+ct^{2}+dt^{3}\in W, então
b+c-d=0,\qquad a+b+d=0.
O polinômio \lambda p tem coeficientes \lambda a,\lambda b,\lambda c,\lambda d. Verificamos:
(\lambda b)+(\lambda c)-(\lambda d)=\lambda(b+c-d)=\lambda\cdot 0=0,
e
(\lambda a)+(\lambda b)+(\lambda d)=\lambda(a+b+d)=\lambda\cdot 0=0.
Logo \lambda p\in W. Assim W é fechado por multiplicação por escalares.
Com (a), (b) e (c) concluímos que W é um subespaço de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Passo 8

Comentário conceitual rápido (útil para a prova): ambas as condições definidoras de U e W são equações lineares homogêneas sobre os coeficientes (a,b,c,d). Conjuntos definidos por equações lineares homogêneas formam núcleos (kernels) de aplicações lineares (por exemplo, L:\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\to\mathbb{R} dado por L(p)=a+b tem \ker L=U). Kernels de aplicações lineares são sempre subespaços; isso é uma alternativa curta para justificar a subespacialidade, mas a prova que fiz nos passos anteriores usa a checagem direta e elementar (zero, soma, escalar), que é o método que você pode aplicar na prova sem complicar.

Resposta

U e W são subespaços de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

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