- Uma força
(em Newtons) atua sobre uma massa de 4 kg . Encontre a posição da massa em
se ela estiver localizada em
e tiver velocidade inicial zero.
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos:\n
- Pede-se a posição da massa no tempo
.\n - A força aplicada é
.\n - A massa é
.\n - A posição inicial em
é (unidades em metros, pois força em N e massa em kg implicam posição em m).\n - A velocidade inicial é nula:
.\n
Passo 2
Relacionamento físico básico e obtenção da aceleração:\n
Pelo Segundo Princípio de Newton, . Assim a aceleração é a força dividida pela massa:
Pelo Segundo Princípio de Newton,
Agora substituímos os valores dados:
Explicação didática: cada componente da aceleração é a respectiva componente da força dividida por
. As unidades ficam em
.
Passo 3
Integração da aceleração para obter a velocidade (regra do integral):\n
Recorde rápido de integração (regra do potência): . Vamos integrar componente a componente.\n
Componente :
Recorde rápido de integração (regra do potência):
Componente
Componente
:
Agora aplicamos a condição inicial
. Em
temos
e
. Portanto
Comentário amigável: as constantes de integração representam a velocidade inicial; como foi dada como zero, elas desaparecem.
Passo 4
Integração da velocidade para obter a posição (mesma ideia da regra do potência):\n
Integramos componente a componente e usamos a condição de posição inicial para determinar as constantes.\n
Componente :
Integramos componente a componente e usamos a condição de posição inicial para determinar as constantes.\n
Componente
Usamos
para achar
:
. Logo
Componente
:
Usamos
para achar
:
. Logo
Dica prática: faça as integrais termo a termo; é a maneira mais direta em provas sem calculadora.
Passo 5
Avaliação das funções posição em
:\n
Calculamos :
Calculamos
Calculamos
:
Verificação rápida das contas:
e
. Tudo consistente.