1. Uma força \vec{F}=(-24 t, 16-8 t) (em Newtons) atua sobre uma massa de 4 kg . Encontre a posição da massa em t=3 \mathrm{seg} se ela estiver localizada em (10,12) \mathrm{em} t=0 e tiver velocidade inicial zero.

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos:\n
  • Pede-se a posição da massa no tempo \,t=3\\ \mathrm{s}.\n
  • A força aplicada é \displaystyle \vec{F}(t)=(-24\,t,\;16-8\,t)\\ \mathrm{N}.\n
  • A massa é \displaystyle m=4\\ \mathrm{kg}.\n
  • A posição inicial em \,t=0 é \,(10,12) (unidades em metros, pois força em N e massa em kg implicam posição em m).\n
  • A velocidade inicial é nula: \displaystyle \vec{v}(0)=(0,0).\n

Passo 2

Relacionamento físico básico e obtenção da aceleração:\n
Pelo Segundo Princípio de Newton, \displaystyle \vec{F}=m\,\vec{a}. Assim a aceleração é a força dividida pela massa:
\vec{a}(t)=\frac{\vec{F}(t)}{m}.
Agora substituímos os valores dados:
\vec{a}(t)=\left(\frac{-24\,t}{4},\;\frac{16-8\,t}{4}\right)=(-6\,t,\;4-2\,t).
Explicação didática: cada componente da aceleração é a respectiva componente da força dividida por \,m. As unidades ficam em \mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Integração da aceleração para obter a velocidade (regra do integral):\n
Recorde rápido de integração (regra do potência): \displaystyle \int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C. Vamos integrar componente a componente.\n
Componente x:
v_x(t)=\int (-6\,t)\,dt=-6\cdot\frac{t^{2}}{2}+C_x=-3\,t^{2}+C_x.
Componente y:
v_y(t)=\int (4-2\,t)\,dt=4t-2\cdot\frac{t^{2}}{2}+C_y=4t-t^{2}+C_y.
Agora aplicamos a condição inicial \vec{v}(0)=(0,0). Em t=0 temos v_x(0)=C_x=0 e v_y(0)=C_y=0. Portanto
\vec{v}(t)=(-3\,t^{2},\;4t-t^{2}).
Comentário amigável: as constantes de integração representam a velocidade inicial; como foi dada como zero, elas desaparecem.

Passo 4

Integração da velocidade para obter a posição (mesma ideia da regra do potência):\n
Integramos componente a componente e usamos a condição de posição inicial para determinar as constantes.\n
Componente x:
x(t)=\int v_x(t)\,dt=\int (-3\,t^{2})\,dt=-3\cdot\frac{t^{3}}{3}+C_1=-t^{3}+C_1.
Usamos x(0)=10 para achar C_1: x(0)=C_1=10. Logo
x(t)=-t^{3}+10.
Componente y:
y(t)=\int v_y(t)\,dt=\int (4t-t^{2})\,dt=4\cdot\frac{t^{2}}{2}-\frac{t^{3}}{3}+C_2=2t^{2}-\frac{1}{3}t^{3}+C_2.
Usamos y(0)=12 para achar C_2: y(0)=C_2=12. Logo
y(t)=2t^{2}-\frac{1}{3}t^{3}+12.
Dica prática: faça as integrais termo a termo; é a maneira mais direta em provas sem calculadora.

Passo 5

Avaliação das funções posição em \,t=3\\ \mathrm{s}:\n
Calculamos x(3):
x(3)=- (3)^{3}+10=-27+10=-17.
Calculamos y(3):
y(3)=2\cdot(3)^{2}-\frac{1}{3}(3)^{3}+12=2\cdot9-\frac{1}{3}\cdot27+12=18-9+12=21.
Verificação rápida das contas: \,18-9=9 e 9+12=21. Tudo consistente.

Resposta

(-17,21)\\ \mathrm{m}

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