Para cada item abaixo, resolva o sistema linear dado por qualquer método.
2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=0
c)
\begin{aligned} & 3 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\\ & 5 x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=0 \end{aligned}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que cada item pede e quais equações temos.
Item 1 (primeiro sistema): resolver o sistema com três incógnitas e uma equação:
2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=0.
Pergunta: encontrar todos os vetores (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfazem essa equação.
Item c) (segundo sistema): resolver o sistema com quatro incógnitas e duas equações:
\begin{aligned} &3x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0,\\[4pt] &5x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=0. \end{aligned}
Pergunta: encontrar todos os vetores (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) que satisfazem ambas as equações.
Nenhum dos dois sistemas é quadrado com posto máximo aparente — é de se esperar infinitas soluções (variáveis livres). Vou resolver passo a passo, explicando cada escolha.]

Passo 2

Conceito e estratégia rápida (para lembrar na prova): quando há menos equações que incógnitas, escolhemos algumas variáveis como livres (parâmetros) e resolvemos as restantes em função delas. Essas variáveis livres parametizam o espaço solução (subespaço linear). Vou escolher nomes simples para os parâmetros, calcular explicitamente e escrever a solução em forma vetorial.
Resolvendo o Item 1:
Temos
2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=0.
Escolho x_{2} e x_{3} como variáveis livres. Defina
x_{2}=s,\qquad x_{3}=t,
onde s,t\in\mathbb{R} são parâmetros. Agora isolo x_{1}:
2x_{1} = -x_{2}-3x_{3} = -s-3t,
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x_{1} = -\frac{s}{2}-\frac{3t}{2}.
Escrevendo o vetor solução:
\begin{aligned} (x_{1},x_{2},x_{3}) &= \left(-\frac{s}{2}-\frac{3t}{2},\; s,\; t\right)\\[4pt] &= s\left(-\tfrac{1}{2},\,1,\,0\right) + t\left(-\tfrac{3}{2},\,0,\,1\right), \qquad s,t\in\mathbb{R}. \end{aligned}
Interpretação: o conjunto solução é um subespaço linear de dimensão 2, gerado pelos vetores \left(-\tfrac{1}{2},1,0\right) e \left(-\tfrac{3}{2},0,1\right).
Dica prática para a prova: se quiser evitar frações nos vetores geradores, pode reparametrizar. Por exemplo, definindo u= s/2 e v=t/2 (ou escolhendo x_{2}=2u,\\ x_{3}=2v) obtém vetores geradores inteiros. Mas frações estão OK — o importante é a forma linear.]

Passo 3

Resolvendo o Item c) (segundo sistema) com eliminação:
Escrevo as duas equações novamente:
\begin{aligned} &3x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0,\\[4pt] &5x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=0. \end{aligned}
Vou eliminar x_{1} entre as duas equações. Multiplico a primeira por 5 e a segunda por 3:
\begin{aligned} &15x_{1}+5x_{2}+5x_{3}+5x_{4}=0,\\[4pt] &15x_{1}-3x_{2}+3x_{3}-3x_{4}=0. \end{aligned}
Subtraindo a segunda da primeira (primeira menos segunda) para eliminar x_{1}:
(15x_{1}-15x_{1})+(5x_{2}-(-3x_{2}))+(5x_{3}-3x_{3})+(5x_{4}-(-3x_{4}))=0,
ou seja
8x_{2}+2x_{3}+8x_{4}=0.
Dividindo por 2:
4x_{2}+x_{3}+4x_{4}=0.
Agora isolo x_{2}:
x_{2} = -\frac{x_{3}}{4}-x_{4}.
Use essa expressão na primeira equação para encontrar x_{1}. A primeira equação é
3x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0.
Substituindo x_{2}:
3x_{1} +\left(-\frac{x_{3}}{4}-x_{4}\right) + x_{3} + x_{4} =0.
Agrupando termos de x_{3} e x_{4}:
3x_{1} +\left(-\frac{1}{4}x_{3}+x_{3}\right) +(-x_{4}+x_{4})=0.
Observe que os termos em x_{4} se cancelam. Simplificando x_{3}:
-\frac{1}{4}x_{3}+x_{3} = \frac{3}{4}x_{3}.
Então
3x_{1} + \frac{3}{4}x_{3} = 0,
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x_{1} = -\frac{1}{4}x_{3}.
Conclusão: x_{1} e x_{2} são expressos em função de x_{3} e x_{4}. Tome parâmetros
x_{3}=s,\qquad x_{4}=t,\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Então
\begin{aligned} x_{1} &= -\frac{1}{4}s,\\[4pt] x_{2} &= -\frac{1}{4}s - t,\\[4pt] x_{3} &= s,\\[4pt] x_{4} &= t. \end{aligned}
Escrevendo em forma vetorial:
\begin{aligned} (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) &= s\left(-\tfrac{1}{4},\,-\tfrac{1}{4},\,1,\,0\right) + t\left(0,\,-1,\,0,\,1\right), \qquad s,t\in\mathbb{R}. \end{aligned}
Interpretação: o espaço solução tem dimensão 2 e é gerado pelos vetores \left(-\tfrac{1}{4},-\tfrac{1}{4},1,0\right) e \left(0,-1,0,1\right).
Dica prática: se preferir bases sem frações, escolha parâmetro diferente (por exemplo tomar s' = 4s para obter vetores inteiros). O resultado é o mesmo, apenas uma reparametrização dos parâmetros.]

Passo 4

Resumo conceitual rápido (para decorar um procedimento que funciona sempre):
  • Conte equações e incógnitas: se há menos equações que incógnitas, haverá variáveis livres e geralmente infinitas soluções.
  • Use eliminação (Gauss) para encontrar relações entre variáveis.
  • Escolha variáveis livres (parâmetros) e expresse as demais em função delas.
  • Escreva a solução em forma vetorial linear (soma de parâmetros vezes vetores geradores).
  • Indique a dimensão do espaço solução (nº de parâmetros = nº de variáveis livres = nº de incógnitas menos posto da matriz dos coeficientes).
Vai dar certo na prova — respira, faz devagar e usa parâmetros para organizar a resposta.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})= s\left(-\tfrac{1}{2},\,1,\,0\right)+t\left(-\tfrac{3}{2},\,0,\,1\right),\qquad s,t\in\mathbb{R}.
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})= s\left(-\tfrac{1}{4},\,-\tfrac{1}{4},\,1,\,0\right)+t\left(0,\,-1,\,0,\,1\right),\qquad s,t\in\mathbb{R}.

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