Para cada item abaixo, resolva o sistema linear dado por qualquer método.
c)
Passo 1
Vou deixar bem claro o que cada item pede e quais equações temos.
Item 1 (primeiro sistema): resolver o sistema com três incógnitas e uma equação:
Pergunta: encontrar todos os vetores
que satisfazem essa equação.
Item c) (segundo sistema): resolver o sistema com quatro incógnitas e duas equações:
Pergunta: encontrar todos os vetores
que satisfazem ambas as equações.
Nenhum dos dois sistemas é quadrado com posto máximo aparente — é de se esperar infinitas soluções (variáveis livres). Vou resolver passo a passo, explicando cada escolha.]
Passo 2
Conceito e estratégia rápida (para lembrar na prova): quando há menos equações que incógnitas, escolhemos algumas variáveis como livres (parâmetros) e resolvemos as restantes em função delas. Essas variáveis livres parametizam o espaço solução (subespaço linear). Vou escolher nomes simples para os parâmetros, calcular explicitamente e escrever a solução em forma vetorial.
Resolvendo o Item 1:
Temos
Temos
Escolho
e
como variáveis livres. Defina
onde
são parâmetros. Agora isolo
:
logo
Escrevendo o vetor solução:
Interpretação: o conjunto solução é um subespaço linear de dimensão
, gerado pelos vetores
e
.
Dica prática para a prova: se quiser evitar frações nos vetores geradores, pode reparametrizar. Por exemplo, definindo
e
(ou escolhendo
) obtém vetores geradores inteiros. Mas frações estão OK — o importante é a forma linear.]
Passo 3
Resolvendo o Item c) (segundo sistema) com eliminação:
Escrevo as duas equações novamente:
Escrevo as duas equações novamente:
Vou eliminar
entre as duas equações. Multiplico a primeira por
e a segunda por
:
Subtraindo a segunda da primeira (primeira menos segunda) para eliminar
:
ou seja
Dividindo por
:
Agora isolo
:
Use essa expressão na primeira equação para encontrar
. A primeira equação é
Substituindo
:
Agrupando termos de
e
:
Observe que os termos em
se cancelam. Simplificando
:
Então
logo
Conclusão:
e
são expressos em função de
e
. Tome parâmetros
Então
Escrevendo em forma vetorial:
Interpretação: o espaço solução tem dimensão
e é gerado pelos vetores
e
.
Dica prática: se preferir bases sem frações, escolha parâmetro diferente (por exemplo tomar
para obter vetores inteiros). O resultado é o mesmo, apenas uma reparametrização dos parâmetros.]
Passo 4
Resumo conceitual rápido (para decorar um procedimento que funciona sempre):
- Conte equações e incógnitas: se há menos equações que incógnitas, haverá variáveis livres e geralmente infinitas soluções.
- Use eliminação (Gauss) para encontrar relações entre variáveis.
- Escolha variáveis livres (parâmetros) e expresse as demais em função delas.
- Escreva a solução em forma vetorial linear (soma de parâmetros vezes vetores geradores).
- Indique a dimensão do espaço solução (nº de parâmetros = nº de variáveis livres = nº de incógnitas menos posto da matriz dos coeficientes).
Vai dar certo na prova — respira, faz devagar e usa parâmetros para organizar a resposta.