Para cada item abaixo, resolva o sistema linear dado por qualquer método.
d)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear formado por quatro equações nas incógnitas
. As equações são (copiadas do enunciado):
O que se pede: encontrar todos os quádruplos
que satisfazem simultaneamente essas quatro equações.
Passo 2
Estratégia escolhida: usar substituição simples (que é equivalente a eliminação de Gauss) aproveitando que a primeira equação já isola
em função de
e
. Isso reduz o sistema e facilita ver a dependência entre equações.
Da primeira equação temos explicitamente:
Passo 3
Substituo
na segunda equação para obter
em função de
e
. A segunda equação é
Substituindo
:
Agora simplifico os termos em
e
:
Isolando
:
Passo 4
Agora verifico a terceira equação usando as expressões obtidas para
e
. A terceira é
Substituo
e
:
Calculo termo a termo:
Somando tudo:
Ou seja, a terceira equação reduz a identidade
: ela não traz informação nova (é dependente das anteriores).
Passo 5
Faço o mesmo com a quarta equação para checar consistência. A quarta é
Substituindo
e
:
Calculo termo a termo:
Somando:
Novamente a equação se reduz a
. Conclusão: somente as duas primeiras equações são independentes; a terceira e a quarta são consequência das duas primeiras.
Passo 6
Como temos 4 incógnitas e somente 2 equações independentes, o espaço de soluções tem dimensão
. Temos portanto duas variáveis livres; escolho como parâmetros as variáveis
e
. Denoto
onde
são parâmetros livres.
Usando as expressões já obtidas:
Passo 7
Portanto a solução geral é
Escrevendo em forma vetorial linearizada (combinação linear das direções correspondentes a
e
):
Os vetores
formam uma base do espaço solução (duas direções independentes).