Para cada item abaixo, resolva o sistema linear dado por qualquer método.
2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=0
d)
\begin{array}{r} v+3 w-2 x=0 \\\\ 2 u+v-4 w+3 x=0 \\\\ 2 u+3 v+2 w-x=0 \\\\ -4 u-3 v+5 w-4 x=0 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear formado por quatro equações nas incógnitas u,v,w,x. As equações são (copiadas do enunciado):
v+3w-2x=0
2u+v-4w+3x=0
2u+3v+2w-x=0
-4u-3v+5w-4x=0
O que se pede: encontrar todos os quádruplos (u,v,w,x) que satisfazem simultaneamente essas quatro equações.

Passo 2

Estratégia escolhida: usar substituição simples (que é equivalente a eliminação de Gauss) aproveitando que a primeira equação já isola v em função de w e x. Isso reduz o sistema e facilita ver a dependência entre equações.
Da primeira equação temos explicitamente:
v+3w-2x=0\quad\Rightarrow\quad v=-3w+2x.

Passo 3

Substituo v=-3w+2x na segunda equação para obter u em função de w e x. A segunda equação é
2u+v-4w+3x=0.
Substituindo v:
2u+(-3w+2x)-4w+3x=0.
Agora simplifico os termos em w e x:
2u-3w-4w+2x+3x=0
2u-7w+5x=0.
Isolando u:
2u=7w-5x\quad\Rightarrow\quad u=\frac{7}{2}w-\frac{5}{2}x.

Passo 4

Agora verifico a terceira equação usando as expressões obtidas para u e v. A terceira é
2u+3v+2w-x=0.
Substituo u=\dfrac{7}{2}w-\dfrac{5}{2}x e v=-3w+2x:
2\Big(\frac{7}{2}w-\frac{5}{2}x\Big)+3(-3w+2x)+2w-x=0.
Calculo termo a termo:
2\cdot\frac{7}{2}w=7w,\qquad 2\cdot\Big(-\frac{5}{2}x\Big)=-5x,
3(-3w+2x)=-9w+6x.
Somando tudo:
7w-5x-9w+6x+2w-x = (7-9+2)w +(-5+6-1)x = 0w+0x=0.
Ou seja, a terceira equação reduz a identidade 0=0: ela não traz informação nova (é dependente das anteriores).

Passo 5

Faço o mesmo com a quarta equação para checar consistência. A quarta é
-4u-3v+5w-4x=0.
Substituindo u e v:
-4\Big(\frac{7}{2}w-\frac{5}{2}x\Big)-3(-3w+2x)+5w-4x=0.
Calculo termo a termo:
-4\cdot\frac{7}{2}w=-14w,\qquad -4\cdot\Big(-\frac{5}{2}x\Big)=+10x,
-3(-3w+2x)=+9w-6x.
Somando:
-14w+10x+9w-6x+5w-4x = (-14+9+5)w+(10-6-4)x = 0w+0x=0.
Novamente a equação se reduz a 0=0. Conclusão: somente as duas primeiras equações são independentes; a terceira e a quarta são consequência das duas primeiras.

Passo 6

Como temos 4 incógnitas e somente 2 equações independentes, o espaço de soluções tem dimensão 4-2=2. Temos portanto duas variáveis livres; escolho como parâmetros as variáveis w e x. Denoto
w=\alpha,\qquad x=\beta,
onde \alpha,\beta\in\mathbb{R} são parâmetros livres.
Usando as expressões já obtidas:
v=-3w+2x = -3\alpha + 2\beta,
u=\frac{7}{2}w-\frac{5}{2}x = \frac{7}{2}\alpha - \frac{5}{2}\beta.

Passo 7

Portanto a solução geral é
(u,v,w,x) = \Big(\frac{7}{2}\alpha-\frac{5}{2}\beta,\; -3\alpha+2\beta,\; \alpha,\; \beta\Big), \qquad \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
Escrevendo em forma vetorial linearizada (combinação linear das direções correspondentes a \alpha e \beta):
\begin{aligned} (u,v,w,x) &= \alpha\Big(\frac{7}{2},-3,1,0\Big)+\beta\Big(-\frac{5}{2},2,0,1\Big). \end{aligned}
Os vetores
\Big(\frac{7}{2},-3,1,0\Big)\quad\text{e}\quad\Big(-\frac{5}{2},2,0,1\Big)
formam uma base do espaço solução (duas direções independentes).

Resposta

(u,v,w,x)=\Big(\dfrac{7}{2}\alpha-\dfrac{5}{2}\beta,\;-3\alpha+2\beta,\;\alpha,\;\beta\Big),\\ \alpha,\beta\in\mathbb{R}
(u,v,w,x)=\alpha\Big(\dfrac{7}{2},-3,1,0\Big)+\beta\Big(-\dfrac{5}{2},2,0,1\Big),\\ \alpha,\beta\in\mathbb{R}

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