Em cada item abaixo são definidas em R^2 operações de adição de vetores e multiplicação por escalar com as quais R^2 não é um R-espaço vetorial. Mostre (através de contra exemplos), em cada caso, quais as propriedades de espaços vetoriais não são atendidas pelas operações dadas:
(x1, y1)+(x2, y2) & =(x1+x2, y1+y2) alpha(x1, y1) & =(0, alpha y1)

Passo 1

Resumo do problema: no conjunto R^2 definimos a adição usual
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,;y1+y2)
e a multiplicação por escalar
alpha,(x,y)=(0,;alpha,y)
A adição usual satisfaz os axiomas de espaço vetorial (comutatividade, associatividade, neutro e inverso). Portanto, o que pode falhar são os axiomas que envolvem multiplicação por escalar:
  1. Distributividade sobre soma de vetores: alpha(v+w)=alpha v+alpha w.
  2. Distributividade sobre soma de escalares: (alpha+beta)v=alpha v+beta v.
  3. Compatibilidade de escalares: alpha(beta v)=(alphabeta)v.
  4. Identidade do escalar 1: 1cdot v=v.
    Vamos testar cada um.

Passo 2

Testando distributividade sobre soma de vetores:
v=(x1,y1), w=(x2,y2)
v+w=(x1+x2,;y1+y2) Longrightarrow alpha(v+w)=l(0,;alpha(y1+y2)r)
Por outro lado,
alpha v + alpha w = (0,alpha y1)+(0,alpha y2) =(0,alpha y1+alpha y2) =(0,alpha(y1+y2))
Logo a propriedade se mantém.

Passo 3

Testando distributividade sobre soma de escalares:
(alpha+beta)(x,y)=l(0,(alpha+beta)yr),
alpha(x,y)+beta(x,y)=(0,alpha y)+(0,beta y) =(0,alpha y+beta y) =(0,(alpha+beta)y)
Também vale.

Passo 4

Testando compatibilidade de escalares:
beta(x,y)=(0,beta y) Longrightarrow alphal(beta(x,y)r)=l(0,alpha(beta y)r)=(0,(alphabeta)y),
(alphabeta)(x,y)=(0,(alphabeta)y)
Esta propriedade também vale.

Passo 5

Testando identidade do escalar 1: deve ser 1cdot(x,y)=(x,y). Mas
1cdot(x,y)=l(0,1cdot yr)=(0,y)
Para xneq0 temos (0,y)neq(x,y). Por exemplo, tomando (x,y)=(1,2),
1cdot(1,2)=(0,2)neq(1,2)
Portanto falha o axioma 1cdot v=v.

Resposta

A propriedade que não se satisfaz é a ação do elemento identidade do corpo: não vale 1cdot v=v. Contraexemplo:
1cdot(1,2)=(0,2)neq(1,2)

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