Em cada item abaixo são definidas em
operações de adição de vetores e multiplicação por escalar com as quais
não é um
-espaço vetorial. Mostre (através de contra exemplos), em cada caso, quais as propriedades de espaços vetoriais não são atendidas pelas operações dadas:
Passo 1
Resumo do problema: no conjunto
definimos a adição usual
e a multiplicação por escalar
A adição usual satisfaz os axiomas de espaço vetorial (comutatividade, associatividade, neutro e inverso). Portanto, o que pode falhar são os axiomas que envolvem multiplicação por escalar:
- Distributividade sobre soma de vetores:
. - Distributividade sobre soma de escalares:
. - Compatibilidade de escalares:
. - Identidade do escalar
: .
Vamos testar cada um.
Passo 2
Testando distributividade sobre soma de vetores:
Por outro lado,
Logo a propriedade se mantém.
Passo 3
Testando distributividade sobre soma de escalares:
Também vale.
Passo 4
Testando compatibilidade de escalares:
Esta propriedade também vale.
Passo 5
Testando identidade do escalar
: deve ser
. Mas
Para
temos
. Por exemplo, tomando
,
Portanto falha o axioma
.
Resposta
A propriedade que não se satisfaz é a ação do elemento identidade do corpo: não vale
. Contraexemplo: