Seja V=(1, x, 2) in R^3: x in R munido das operações
(1, x1, 2)+(1, x2, 2)=(1, x1+x2, 2) alpha(1, x, 2)=(1, alpha x, 2), forall alpha in R
Mostre que V é um espaço vetorial sobre R e obtenha o vetor nulo de V.

Passo 1

O enunciado define
V = (1,x,2)inR^3 : xinR
com
(1,x1,2)+(1,x2,2) = (1,x1+x2,2), alpha,(1,x,2) = (1,alpha x,2)
Queremos mostrar que V satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre R e encontrar o vetor nulo.

Passo 2

(Fechamento, associatividade e comutatividade da soma)
  1. Fechamento: para (1,x1,2),(1,x2,2)in V, (1,x1,2)+(1,x2,2) = (1,x1+x2,2)in V
  2. Associatividade: para quaisquer (1,xi,2)in V, l((1,x1,2)+(1,x2,2)r)+(1,x3,2) = (1,(x1+x2)+x3,2) = (1,x1+(x2+x3),2) = (1,x1,2)+l((1,x2,2)+(1,x3,2)r)
  3. Comutatividade: (1,x1,2)+(1,x2,2) = (1,x1+x2,2) = (1,x2+x1,2) = (1,x2,2)+(1,x1,2)

Passo 3

(Elemento neutro e inverso aditivo)
  1. Neutro: buscamos e=(1,ex,2) tal que
    (1,x,2)+e = (1,x,2).
    Isso exige x+ex = x, logo ex=0, ou seja 0V = (1,0,2)
  2. Inverso: para v=(1,x,2), escolhemos -v = (1,-x,2), pois (1,x,2)+(1,-x,2) = (1,0,2) = 0V

Passo 4

(Propriedades da multiplicação por escalar)
Para alpha,betainR e u=(1,x1,2), v=(1,x2,2) em V:
  1. alpha(beta v) = alpha(1,beta x2,2) = (1,alpha(beta x2),2) = (1,(alphabeta)x2,2) = (alphabeta)v
  2. 1cdot v = (1,1cdot x2,2) = (1,x2,2)=v
  3. (alpha+beta)v = (1,(alpha+beta)x2,2) = (1,alpha x2,2)+(1,beta x2,2) = alpha v + beta v
  4. alpha(u+v) = alpha(1,x1+x2,2) = (1,alpha(x1+x2),2) = (1,alpha x1,2)+(1,alpha x2,2) = alpha u + alpha v

Resposta

O conjunto V com as operações dadas é um espaço vetorial sobre R e o vetor nulo de V é (1,0,2).

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