Seja
munido das operações
Mostre que
é um espaço vetorial sobre
e obtenha o vetor nulo de
.
Passo 1
O enunciado define
com
Queremos mostrar que
satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre
e encontrar o vetor nulo.
Passo 2
(Fechamento, associatividade e comutatividade da soma)
- Fechamento: para
, - Associatividade: para quaisquer
, - Comutatividade:
Passo 3
(Elemento neutro e inverso aditivo)
- Neutro: buscamos
tal que
.
Isso exige, logo , ou seja - Inverso: para
, escolhemos pois
Passo 4
(Propriedades da multiplicação por escalar)
Para e
,
em
:
Para
Resposta
O conjunto
com as operações dadas é um espaço vetorial sobre
e o vetor nulo de
é
.