Descreva o vetor nulo de cada um dos espaços vetoriais abaixo (nos quais são consideradas as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar):
P(R) (polinômios com coeficientes em R )

Passo 1

O enunciado pede que a gente identifique o vetor nulo do espaço vetorial P(R), que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais, usando as operações usuais de soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Por definição, o vetor nulo 0V de um espaço vetorial V é aquele que, somado a qualquer vetor vin V, retorna v. No caso de P(R), dados dois polinômios p(x) e q(x), temos
p(x) + 0P(R)(x) ;=; p(x)
O único polinômio que satisfaz isso é o polinômio cujos coeficientes são todos zero, isto é, o polinômio constante zero.

Resposta

O vetor nulo de P(R) é o polinômio
0P(R)(x) = 0,
ou seja, o polinômio identicamente zero.

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