Descreva o vetor nulo de cada um dos espaços vetoriais abaixo (nos quais são consideradas as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar):
(funções de
em
)
Passo 1
O enunciado pede para identificar o vetor nulo em
, ou seja, no espaço vetorial cujos “vetores” são todas as funções
e cujas operações são a soma ponto a ponto e a multiplicação por escalar usual. Para isso, vamos usar a definição de vetor nulo em qualquer espaço vetorial.
Passo 2
Por definição, o vetor nulo
de um espaço vetorial
é o elemento que, somado a qualquer vetor
, retorna
:
No nosso caso, “vetores” são funções
e a soma é dada por
Passo 3
Seja
o candidato a vetor nulo em
. Deve valer
Isso implica
Logo,
é a função que envia todo
em
.
Resposta
A função nula em
é