Descreva o vetor nulo de cada um dos espaços vetoriais abaixo (nos quais são consideradas as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar):
F(R)=f: R R (funções de R em R )

Passo 1

O enunciado pede para identificar o vetor nulo em F(R), ou seja, no espaço vetorial cujos “vetores” são todas as funções fcolonRtoR e cujas operações são a soma ponto a ponto e a multiplicação por escalar usual. Para isso, vamos usar a definição de vetor nulo em qualquer espaço vetorial.

Passo 2

Por definição, o vetor nulo 0V de um espaço vetorial V é o elemento que, somado a qualquer vetor vin V, retorna v:
v + 0V = v,forall vin V
No nosso caso, “vetores” são funções finF(R) e a soma é dada por
(f+g)(x)=f(x)+g(x)

Passo 3

Seja f0 o candidato a vetor nulo em F(R). Deve valer
(f+f0)(x)=f(x),,forall finF(R), forall xinR
Isso implica
f(x)+f0(x)=f(x)Longrightarrow f0(x)=0,forall xinR
Logo, f0 é a função que envia todo x em 0.

Resposta

A função nula em F(R) é
f0colonRtoR, f0(x)=0 para todo xinR

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