Verifique se é um R-espaço vetorial o conjunto dos pares ordenados (x, y) de números reais tais que x>0 e y>0, com as operações definidas por
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) alpha(x1, y1)=(alpha x1, alpha y1), alpha in R

Passo 1

O enunciado quer saber se
V = (x,y)inR^2 mid x>0,;y>0
com
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1+x2,;y1+y2), alpha,(x,y) = (alpha x,;alpha y)
é um espaço vetorial sobre R. Para isso precisamos verificar, entre outros axiomas, o fechamento nas operações e a existência do vetor zero.

Passo 2

Verificamos o fechamento na soma: se (x1,y1) e (x2,y2) têm coordenadas estritamente positivas, então
x1+x2>0 e y1+y2>0,
logo (x1+x2,;y1+y2)in V. Portanto, a soma está fechada em V.

Passo 3

Agora o fechamento em multiplicação por escalar. Tome alpha=0. Então
0cdot(x,y) = (0,0),
mas (0,0)notin V pois as coordenadas não são estritamente positivas. Logo não há fechamento sob alpha=0. Se alpha<0, também fica alpha x<0 e alpha y<0, saindo de V. Portanto falha o fechamento em alpha,(x,y).

Passo 4

Outro ponto: todo espaço vetorial deve conter o vetor zero 0V tal que 0V+v=v. No espaço usual seria (0,0), mas (0,0)notin V. Logo falta o vetor neutro em V, violando um axioma fundamental.

Resposta

V não é um R-espaço vetorial, pois não é fechado em multiplicação por escalares (por exemplo, 0cdot (x,y)notin V) e não contém o vetor zero.

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