Verifique se é um
-espaço vetorial o conjunto dos pares ordenados
de números reais tais que
e
, com as operações definidas por
Passo 1
O enunciado quer saber se
com
é um espaço vetorial sobre
. Para isso precisamos verificar, entre outros axiomas, o fechamento nas operações e a existência do vetor zero.
Passo 2
Verificamos o fechamento na soma: se
e
têm coordenadas estritamente positivas, então
logo
. Portanto, a soma está fechada em
.
Passo 3
Agora o fechamento em multiplicação por escalar. Tome
. Então
mas
pois as coordenadas não são estritamente positivas. Logo não há fechamento sob
. Se
, também fica
e
, saindo de
. Portanto falha o fechamento em
.
Passo 4
Outro ponto: todo espaço vetorial deve conter o vetor zero
tal que
. No espaço usual seria
, mas
. Logo falta o vetor neutro em
, violando um axioma fundamental.