Em cada item abaixo, simplifique a expressão \frac{f(x)-f(a)}{x-a}, \operatorname{com} x \neq a e a, x \in D_{f}, em que
f(x)=x^{5}-x.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar o quociente
\frac{f(x)-f(a)}{x-a},\quad x\neq a,
onde f(x)=x^5 - x. Essa simplificação usa a fatoração de polinômios (diferença de potências) e é a mesma ideia do quociente incremental na definição de derivada, mas aqui só queremos reescrever o polinômio sem a divisão.

Passo 2

Escrevemos o numerador separando em duas diferenças:
f(x)-f(a) = \bigl(x^5 - x\bigr) - \bigl(a^5 - a\bigr) = (x^5 - a^5) \;-\;(x - a).

Passo 3

Usamos a fatoração da diferença de quintas potências:
x^5 - a^5 = (x - a)\,\bigl(x^4 + x^3a + x^2a^2 + xa^3 + a^4\bigr).
Então
f(x)-f(a) = (x-a)\,\bigl(x^4 + x^3a + x^2a^2 + xa^3 + a^4\bigr)\;-\;(x-a).
Colocando (x-a) em evidência:
f(x)-f(a) = (x-a)\Bigl(x^4 + x^3a + x^2a^2 + xa^3 + a^4 - 1\Bigr).

Passo 4

Agora dividimos por (x-a) (lembre que x\neq a, então não zeramos o denominador):
\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = x^4 + x^3a + x^2a^2 + xa^3 + a^4 \;-\; 1.

Resposta

\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = x^4 + x^3a + x^2a^2 + xa^3 + a^4 - 1.

Exercícios relacionados