Considere a função f dada por f(x)=|2 x-1|-3 x. Reescreva f sem utilizar o módulo e esboce seu gráfico.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a função
f(x) = \lvert 2x - 1\rvert - 3x
sem o módulo e depois esboçar o gráfico. O conteúdo envolve valor absoluto e definição por partes (função “piecewise linear”).

Passo 2

Identificamos o argumento do valor absoluto e achamos onde ele muda de sinal resolvendo
2x - 1 = 0
o que dá
x = \tfrac12.
Portanto vamos estudar separadamente os casos x < \tfrac12 e x \ge \tfrac12.

Passo 3

Para x < \tfrac12 temos 2x - 1 < 0, então
\lvert 2x - 1\rvert = -(2x - 1) = -2x + 1
e
f(x) = (-2x + 1) - 3x = -5x + 1.
Para x \ge \tfrac12 temos 2x - 1 \ge 0, então
\lvert 2x - 1\rvert = 2x - 1
e
f(x) = (2x - 1) - 3x = -x - 1.
Em seguida escrevemos a definição por partes:
f(x)= \begin{cases} -5x + 1, & x < \tfrac12,\\\\ -\,x - 1, & x \ge \tfrac12. \end{cases}

Passo 4

Verificamos a continuidade no ponto x=\tfrac12.
Para x\to\tfrac12^-
-5\bigl(\tfrac12\bigr)+1 = -\tfrac52 + 1 = -\tfrac32,
e para x\to\tfrac12^+
-\bigl(\tfrac12\bigr) - 1 = -\tfrac12 - 1 = -\tfrac32.
As duas expressões coincidem em \bigl(\tfrac12,\,-\tfrac32\bigr), então o gráfico é contínuo ali, mas com um “canto” (mudança de inclinação).

Passo 5

Para esboçar o gráfico, note:
  • No ramo x<\tfrac12 a reta y=-5x+1 passa por (0,1) e por \bigl(\tfrac12,-\tfrac32\bigr), com inclinação -5.
  • No ramo x\ge\tfrac12 a reta y=-x-1 passa por \bigl(\tfrac12,-\tfrac32\bigr) e, por exemplo, por (2,-3), com inclinação -1.
    Une-se esses dois segmentos num único gráfico contínuo, com canto em \bigl(\tfrac12,-\tfrac32\bigr).

Resposta

f(x)= \begin{cases} -5x + 1, & x < \tfrac12,\\\\ -\,x - 1, & x \ge \tfrac12, \end{cases}
Gráfico: duas retas unidas em \bigl(\tfrac12,-\tfrac32\bigr), à esquerda com inclinação -5 e à direita com inclinação -1.

Exercícios relacionados