Determine os valores possíveis para m de modo que a equação (m-2) x^{2}-2 m x+2 m-3=0 tenha duas raízes reais, tais que -1<x_{1}<4<x_{2}.

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
(m-2)x^{2}-2m x+2m-3=0
e pede os valores de m tais que a equação tenha duas raízes reais distintas x_{1}<x_{2} satisfazendo
-1<x_{1}<4<x_{2}.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
a=m-2,\qquad b=-2m,\qquad c=2m-3.
Condições que precisamos impor (sem resolver ainda):
  1. A equação é quadrática: a\neq0 (logo m\neq2).
  2. Tem duas raízes reais distintas: discriminante \Delta>0.
  3. As raízes cumprem -1<x_{1}<4<x_{2}.

Passo 2

Primeiro garantimos duas raízes reais distintas usando o discriminante. Lembro que para uma equação quadrática ax^{2}+bx+c=0 o discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac,
e as raízes são reais e distintas se, e somente se, \Delta>0.
Aqui b^{2}=(-2m)^{2}=4m^{2} e
4ac=4(m-2)(2m-3).
Calculando \Delta:
\Delta=4m^{2}-4(m-2)(2m-3).
Agora desenvolvo (m-2)(2m-3):
(m-2)(2m-3)=2m^{2}-7m+6.
Multiplicando por 4:
4(m-2)(2m-3)=8m^{2}-28m+24.
Portanto
\Delta=4m^{2}-(8m^{2}-28m+24)=-4m^{2}+28m-24=-4\bigl(m^{2}-7m+6\bigr).
Fatorando m^{2}-7m+6=(m-1)(m-6), obtemos
\Delta=-4(m-1)(m-6).
Queremos \Delta>0. Como -4<0, a desigualdade vira
(m-1)(m-6)<0,
ou seja
1<m<6.
Então a condição de raízes reais distintas é 1<m<6. Lembro também que devemos ter m\neq2 para permanecer quadrática (mas m=2 está dentro de (1,6), então vamos lembrar disso).

Passo 3

Agora traduzimos as condições de posição das raízes em termos de sinais da função quadrática. Seja
P(x)=(m-2)x^{2}-2m x+2m-3.
Como P(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}) com a=m-2 e x_{1}<x_{2}, temos:
  • Se x está à esquerda de ambas as raízes (ou seja x<x_{1}), então (x-x_{1})<0 e (x-x_{2})<0, produto positivo, logo P(x) tem o mesmo sinal de a.
  • Se x está entre as raízes ( x_{1}<x<x_{2}), então os fatores têm sinais opostos e o produto é negativo, logo P(x) tem sinal oposto ao de a.
Aplicando isso às nossas duas condições:
  • Como -1<x_{1}, o ponto x=-1 está à esquerda das duas raízes, portanto P(-1) deve ter o mesmo sinal de a. Em termos algébricos:
P(-1)\cdot a>0.
  • Como 4 está entre as raízes ( x_{1}<4<x_{2}), o ponto x=4 está entre raízes, então P(4) deve ter sinal oposto ao de a:
P(4)\cdot a<0.
Essas duas desigualdades, junto com \Delta>0 e m\neq2, formam o sistema que vamos resolver.

Passo 4

Calculo P(-1) e P(4).
Para x=-1:
P(-1)=(m-2)\cdot 1 -2m\cdot(-1)+2m-3=(m-2)+2m+2m-3=5m-5=5(m-1).
Para x=4:
P(4)=(m-2)\cdot 16 -2m\cdot 4 +2m-3=16m-32-8m+2m-3=10m-35=5(2m-7).
Lembrando a=m-2.

Passo 5

Resolver P(-1)\cdot a>0. Substituindo:
5(m-1)(m-2)>0.
Como 5>0, isso equivale a
(m-1)(m-2)>0.
Uma expressão quadrática do tipo (m-1)(m-2) é positiva quando m<1 ou m>2. Portanto:
m<1\quad\text{ou}\quad m>2.

Passo 6

Resolver P(4)\cdot a<0. Substituindo:
5(2m-7)(m-2)<0.
Como 5>0, isto é equivalente a
(2m-7)(m-2)<0.
As raízes dos fatores são m=\tfrac{7}{2} e m=2. A desigualdade (2m-7)(m-2)<0 é satisfeita quando os fatores têm sinais opostos, isto é:
2<m<\tfrac{7}{2}.

Passo 7

Agora juntamos todas as condições:
  • Discriminante: 1<m<6.
  • Do passo 5: m<1 ou m>2. Interseção com 1<m<6 elimina m<1 e deixa 2<m<6.
  • Do passo 6: 2<m<\tfrac{7}{2}.
Fazendo a interseção final:
(1<m<6)\cap(m>2)\cap\Bigl(2<m<\tfrac{7}{2}\Bigr)=2<m<\tfrac{7}{2}.
Também lembramos que m\neq2 (já excluído pela desigualdade estrita) e que os extremos m=2 ou m=\tfrac{7}{2} não podem ser incluídos porque em m=2 a equação deixa de ser quadrática e em m=\tfrac{7}{2} teríamos P(4)=0 (ou seja, uma raiz igual a 4), e queremos estritamente 4<x_{2}. Portanto os extremos estão corretamente excluídos.

Passo 8

Concluímos que todo m com 2<m<\tfrac{7}{2} satisfaz as condições: a equação é quadrática, tem duas raízes reais distintas, e essas raízes verificam -1<x_{1}<4<x_{2}. Uma checagem rápida: para valores exemplo como m=3 (que está no intervalo), as condições se satisfazem; para m fora do intervalo alguma das condições falha (ou discriminante não positivo, ou sinal em -1 e 4 não corresponde).

Resposta

2<m<\dfrac{7}{2}

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