Determine os valores possíveis para
de modo que a equação
tenha duas raízes reais, tais que
.
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática
e pede os valores de
tais que a equação tenha duas raízes reais distintas
satisfazendo
Dados relevantes extraídos do enunciado:
Condições que precisamos impor (sem resolver ainda):
- A equação é quadrática:
(logo ). - Tem duas raízes reais distintas: discriminante
. - As raízes cumprem
.
Passo 2
Primeiro garantimos duas raízes reais distintas usando o discriminante. Lembro que para uma equação quadrática
o discriminante é
e as raízes são reais e distintas se, e somente se,
.
Aqui
e
Calculando
:
Agora desenvolvo
:
Multiplicando por 4:
Portanto
Fatorando
, obtemos
Queremos
. Como
, a desigualdade vira
ou seja
Então a condição de raízes reais distintas é
. Lembro também que devemos ter
para permanecer quadrática (mas
está dentro de
, então vamos lembrar disso).
Passo 3
Agora traduzimos as condições de posição das raízes em termos de sinais da função quadrática. Seja
Como
com
e
, temos:
- Se
está à esquerda de ambas as raízes (ou seja ), então e , produto positivo, logo tem o mesmo sinal de . - Se
está entre as raízes ( ), então os fatores têm sinais opostos e o produto é negativo, logo tem sinal oposto ao de .
Aplicando isso às nossas duas condições:
- Como
, o ponto está à esquerda das duas raízes, portanto deve ter o mesmo sinal de . Em termos algébricos:
- Como
está entre as raízes ( ), o ponto está entre raízes, então deve ter sinal oposto ao de :
Essas duas desigualdades, junto com
e
, formam o sistema que vamos resolver.
Passo 4
Calculo
e
.
Para
:
Para
:
Lembrando
.
Passo 5
Resolver
. Substituindo:
Como
, isso equivale a
Uma expressão quadrática do tipo
é positiva quando
ou
. Portanto:
Passo 6
Resolver
. Substituindo:
Como
, isto é equivalente a
As raízes dos fatores são
e
. A desigualdade
é satisfeita quando os fatores têm sinais opostos, isto é:
Passo 7
Agora juntamos todas as condições:
- Discriminante:
. - Do passo 5:
ou . Interseção com elimina e deixa . - Do passo 6:
.
Fazendo a interseção final:
Também lembramos que
(já excluído pela desigualdade estrita) e que os extremos
ou
não podem ser incluídos porque em
a equação deixa de ser quadrática e em
teríamos
(ou seja, uma raiz igual a
), e queremos estritamente
. Portanto os extremos estão corretamente excluídos.
Passo 8
Concluímos que todo
com
satisfaz as condições: a equação é quadrática, tem duas raízes reais distintas, e essas raízes verificam
. Uma checagem rápida: para valores exemplo como
(que está no intervalo), as condições se satisfazem; para
fora do intervalo alguma das condições falha (ou discriminante não positivo, ou sinal em
e
não corresponde).