Em cada item abaixo temos uma equação e uma de suas soluções. Use o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação.
(t-1) y^prime prime-t y^prime+y=0, t>1 ; y1(t)=e^t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
(t-1),y'' - t,y' + y = 0, t>1,
e uma solução conhecida y1(t)=e^t. Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2(t).

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
dividindo ambos os lados por (t-1):
y'' - tt-1,y' + 1t-1,y = 0
Daí identificamos
p(t) = -tt-1

Passo 3

Calculamos o integral de p(t): note que
-tt-1 = -1 - 1t-1,
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integral p(t),dt = integrall(-1 - 1t-1r),dt = -t - lnlvert t-1rvert

Passo 4

A seguir montamos
expl(-!integral p(t),dtr) = expl(t + lnlvert t-1rvertr) = (t-1),e^t

Passo 5

A fórmula de redução de ordem diz que
y2(t) = y1(t),integral exp!l(-!integral p(t),dtr)y1(t)^2,dt

Passo 6

Substituindo y1(t)=e^t e exp(-!integral p)= (t-1)e^t temos
integral (t-1)e^te^2t,dt = integral (t-1)e^-t,dt
Fazendo integração por partes com u=t-1, dv=e^-tdt resulta
integral (t-1)e^-t,dt = -t,e^-t + C

Passo 7

Portanto
y2(t) = e^t,l(-t,e^-tr) = -t
Como podemos multiplicar por constante, escolhemos
y2(t)=t

Resposta

A segunda solução da equação é
y2(t)=t

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