Seja f(x)=llx^3 cdot sen(1x^4), & se x neq 0 0, & se x=0. Calcule f^prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função que muda dependendo do valor de x . A função é definida como f(x) = x^3 cdot sin(1x^4) quando x neq 0 e f(x) = 0 quando x = 0 . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, f'(x) . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função para o caso em que x neq 0 . A função nesse caso é f(x) = x^3 cdot sin(1x^4) . Para derivar isso, vamos usar a Regra do Produto, que diz que a derivada de dois multiplicadores é (uv)' = u'v + uv' .

Passo 3

Vamos identificar u = x^3 e v = sin(1x^4) . Agora, vamos derivar cada parte:
  • u' = ddxx^3 = 3x^2
  • Para v' , precisamos usar a Regra da Cadeia. Seja g(x) = 1x^4 , então v = sin(g(x)) . A derivada de sin(g(x)) é cos(g(x)) cdot g'(x) .

Passo 4

Agora, vamos derivar g(x) = 1x^4 :
  • g'(x) = ddxx^-4 = -4x^-5 = -4x^5
Então, a derivada de v fica:
  • v' = cos(1x^4) cdot (-4x^5) = -4x^5 cdot cos(1x^4)

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Produto:
f'(x) = u'v + uv' = 3x^2 cdot sin(1x^4) + x^3 cdot (-4x^5 cdot cos(1x^4))
Simplificando o segundo termo:
x^3 cdot (-4x^5) = -4x^2
Então, temos:
f'(x) = 3x^2 cdot sin(1x^4) - 4x^2 cdot cos(1x^4)

Passo 6

Agora, precisamos considerar o caso quando x = 0 . A derivada em x = 0 é definida como:
f'(0) = limh to 0 f(h) - f(0)h
Sabemos que f(0) = 0 , então:
f'(0) = limh to 0 h^3 cdot sin(1h^4)h = limh to 0 h^2 cdot sin(1h^4)
Como sin sempre está entre -1 e 1, temos:
- h^2 <= h^2 cdot sin(1h^4) <= h^2
E sabemos que h^2 tende a 0 quando h tende a 0. Pelo Teorema do Sanduíche, o limite também é 0.

Resposta

A derivada de f(x) é dada por:
f'(x) = 3x^2 cdot sin(1x^4) - dfrac4x^2 cdot cos(1x^4), & se x neq 0 0, & se x = 0

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