Encontre a derivada das seguintes funções:
(d) f(x)=2 x cdot cos (x) cdot tg(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada da função f(x) = 2x cdot cos(x) cdot tan(x) . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente sobre como derivar funções que são produtos de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e lembrar como derivar funções trigonométricas como o cosseno e a tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra do produto. Quando temos uma função que é o produto de duas ou mais funções, a derivada dela não é simplesmente o produto das derivadas. Para três funções, a derivada é dada por:
(f cdot g cdot h)' = f' cdot g cdot h + f cdot g' cdot h + f cdot g cdot h'
No nosso caso, temos três partes: f(x) = 2x , g(x) = cos(x) e h(x) = tan(x) .

Passo 3

Vamos derivar cada uma dessas partes individualmente:
  1. Derivada de f(x) = 2x :
f'(x) = 2
  1. Derivada de g(x) = cos(x) :
g'(x) = -sin(x)
  1. Derivada de h(x) = tan(x) :
h'(x) = sec^2(x)
Lembrando que sec(x) = 1cos(x) , então sec^2(x) = 1cos^2(x) .

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto que mencionamos no Passo 2:
f'(x) = f'(x) cdot g(x) cdot h(x) + f(x) cdot g'(x) cdot h(x) + f(x) cdot g(x) cdot h'(x)
Substituindo pelas derivadas que achamos:
f'(x) = 2 cdot cos(x) cdot tan(x) + 2x cdot (-sin(x)) cdot tan(x) + 2x cdot cos(x) cdot sec^2(x)

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
2 cdot cos(x) cdot tan(x)
Sabemos que tan(x) = sin(x)cos(x) , então:
2 cdot cos(x) cdot sin(x)cos(x) = 2sin(x)
  1. Segundo termo:
2x cdot (-sin(x)) cdot tan(x) = -2x sin(x) cdot sin(x)cos(x) = -2x sin^2(x)cos(x)
  1. Terceiro termo:
2x cdot cos(x) cdot sec^2(x) = 2x cdot cos(x) cdot 1cos^2(x) = 2x cdot 1cos(x) = 2x sec(x)

Passo 6

Juntando tudo:
f'(x) = 2sin(x) - 2x sin^2(x)cos(x) + 2x sec(x)
Podemos simplificar mais um pouco, mas já temos a derivada expressa de forma clara.

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 2sin(x) - 2x sin^2(x)cos(x) + 2x sec(x)

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