Seja f(x)=x^1 / 3(x-1)^2 / 3. Prove que f^prime(x)=3 x-13(x-1)^1 / 3 x^2 / 3 e que f^prime prime(x)=-29(x-1)^4 / 3 x^5 / 3 e estude o sinal de f^prime e f^prime prime.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x^1/3(x-1)^2/3
calcular a primeira e a segunda derivadas, usando regra do produto e regra da cadeia, e depois estudar o sinal de f' e de f''. Vamos aplicar derivação de potências racionais passo a passo.

Passo 2

Para achar f'(x) note que
u(x)=x^1/3, v(x)=(x-1)^2/3
então
u'(x)=tfrac13x^-2/3, v'(x)=tfrac23(x-1)^-1/3
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =tfrac13x^-2/3(x-1)^2/3+tfrac23x^1/3(x-1)^-1/3
Colocando em fator comum x^-2/3(x-1)^-1/3 e somando termos internos, chega-se a
f'(x) =3x-13,x^2/3(x-1)^1/3

Passo 3

Para f''(x) podemos derivar
f'(x) =13(3x-1),x^-2/3(x-1)^-1/3
Seja g(x)=3x-1 e h(x)=x^-2/3(x-1)^-1/3. Então
g'(x)=3 e h'(x) =-tfrac13x^-5/3(x-1)^-4/3l[2(x-1)+xr] =-tfrac13(3x-2),x^-5/3(x-1)^-4/3
Logo, pela regra do produto,
f''(x) =tfrac13l[g'(x)h(x)+g(x)h'(x)r] =-29,x^5/3(x-1)^4/3

Passo 4

Estudo do sinal de f'(x)=dfrac3x-13,x^2/3(x-1)^1/3:
1. Zeros e indefinições: 3x-1=0implies x=tfrac13; denominador nulo em x=0 ou x=1.
2. Para x<0: numerador 3x-1<0, denom. x^2/3>0, (x-1)^1/3<0 Rightarrow denom <0Rightarrow f'>0.
3. Para 0<x<tfrac13: numerador <0, denom <0Rightarrow f'>0.
4. Para tfrac13<x<1: numerador >0, denom <0Rightarrow f'<0.
5. Para x>1: numerador >0, denom >0Rightarrow f'>0.

Passo 5

Estudo do sinal de
f''(x)=-29,x^5/3(x-1)^4/3
O denominador é positivo para todo xneq0,1 (potências de ordem par e ímpar de número real), e o numerador -2 é negativo. Logo f''(x)<0 em cada intervalo do domínio onde está definida.

Resposta

f'(x)=3x-13,x^2/3(x-1)^1/3, que é positivo em (-infty,1/3)cup(1,infty), nulo em x=1/3 e negativo em (1/3,1).
f''(x)=-29,x^5/3(x-1)^4/3<0 para todo xneq0,1.

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