Seja
. Prove que
e que
e estude o sinal de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para a função
calcular a primeira e a segunda derivadas, usando regra do produto e regra da cadeia, e depois estudar o sinal de
e de
. Vamos aplicar derivação de potências racionais passo a passo.
Passo 2
Para achar
note que
então
Pela regra do produto,
Colocando em fator comum
e somando termos internos, chega-se a
Passo 3
Para
podemos derivar
Seja
e
. Então
Logo, pela regra do produto,
Passo 4
Estudo do sinal de
:
Passo 5
Estudo do sinal de
O denominador é positivo para todo
(potências de ordem par e ímpar de número real), e o numerador
é negativo. Logo
em cada intervalo do domínio onde está definida.