Para cada item abaixo $\varphi=\mathrm{g}_{\circ} f$, determine o conjunto de pontos para os quais a função resultante é contínua.
e g(z)
Passo 1
O enunciado dá as funções e pede o conjunto de pontos onde a composição
é contínua. As informações fornecidas são:
-
. -
. - A tarefa: determinar o conjunto de pontos
para os quais a função resultante é contínua.
Passo 2
Primeiro identificar o domínio onde cada função está bem definida:
- A função
(ou seja ) está definida para todo exceto quando . Os pontos onde são
- Então
está definida em
- A função
está definida para todo , ou seja .
Passo 3
Esclarecimento didático sobre continuidade (sem jargões pesados):
- Uma função de duas variáveis
é contínua num ponto quando . - Propriedades úteis que vamos usar:
- Soma de funções contínuas é contínua (onde ambas estão definidas).
- Quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não se anula.
- Composição
é contínua num ponto se é contínua em e é contínua em .
Vou aplicar essas propriedades ao nosso caso.
Passo 4
Mostrar que
é contínua nos pontos do seu domínio:
-
. - As funções
e são contínuas em todo . - Onde
(ou seja ), o quociente é razão de duas funções contínuas com denominador não nulo, logo é contínua nesses .
Portantoé contínua para todo com .
Passo 5
Mostrar que
é contínua nos pontos onde está definida:
- A projeção
é contínua em todo . - Pelo Passo 4,
é contínua em todo com . - Soma de funções contínuas é contínua no ponto onde ambas são definidas, logo
é contínua em todo ponto com .
Em símbolos:
Passo 6
Mostrar que
é contínua:
-
é soma da função identidade com a constante . Ambas são contínuas em todo . - Logo
é contínua em todo .
Passo 7
Aplicar a propriedade da composição:
- Pelo Passo 5,
é contínua em todo tal que . - Pelo Passo 6,
é contínua para todo , em particular em sempre que esteja definido. - Portanto, pela regra da composição,
é contínua em todo ponto onde está definida (porque então e são contínuas nos pontos necessários). - A expressão explícita da composição é
definida exatamente quando
está definida.
Passo 8
Conclusão final (juntando tudo de forma clara e prática):
- A composição
é contínua em todos os pontos tais que para algum . - Nos pontos em que
a função (e portanto e ) não está definida, logo aí não faz sentido falar em continuidade.