Para cada item abaixo $\varphi=\mathrm{g}_{\circ} f$, determine o conjunto de pontos para os quais a função resultante é contínua.
f(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{z}=\mathrm{x}+\operatorname{tg} \mathrm{y} e g(z) =\mathrm{z}+1

Passo 1

O enunciado dá as funções e pede o conjunto de pontos onde a composição \varphi = g\circ f é contínua. As informações fornecidas são:
  • f(\mathrm{x},\mathrm{y})=\mathrm{z}=\mathrm{x}+\operatorname{tg}\mathrm{y}.
  • g(\mathrm{z})=\mathrm{z}+1.
  • A tarefa: determinar o conjunto de pontos (x,y) para os quais a função resultante \varphi(x,y)=(g\circ f)(x,y) é contínua.

Passo 2

Primeiro identificar o domínio onde cada função está bem definida:
  • A função \operatorname{tg} (ou seja \tan) está definida para todo y\in\mathbb{R} exceto quando \cos y=0. Os pontos onde \cos y=0 são
y = \frac{\pi}{2} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Então f está definida em
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\times\Big(\mathbb{R}\setminus\Big\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi:\,k\in\mathbb{Z}\Big\}\Big).
  • A função g(z)=z+1 está definida para todo z\in\mathbb{R}, ou seja \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}.

Passo 3

Esclarecimento didático sobre continuidade (sem jargões pesados):
  • Uma função de duas variáveis h(x,y) é contínua num ponto (x_0,y_0) quando \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} h(x,y)=h(x_0,y_0).
  • Propriedades úteis que vamos usar:
    1. Soma de funções contínuas é contínua (onde ambas estão definidas).
    2. Quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não se anula.
    3. Composição g\circ f é contínua num ponto (x_0,y_0) se f é contínua em (x_0,y_0) e g é contínua em f(x_0,y_0).
Vou aplicar essas propriedades ao nosso caso.

Passo 4

Mostrar que \tan é contínua nos pontos do seu domínio:
  • \tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y}.
  • As funções \sin y e \cos y são contínuas em todo \mathbb{R}.
  • Onde \cos y\neq0 (ou seja y\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi), o quociente \dfrac{\sin y}{\cos y} é razão de duas funções contínuas com denominador não nulo, logo \tan é contínua nesses y.
    Portanto \tan é contínua para todo y com y\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi.

Passo 5

Mostrar que f(x,y)=x+\tan y é contínua nos pontos onde está definida:
  • A projeção (x,y)\mapsto x é contínua em todo \mathbb{R}^2.
  • Pelo Passo 4, \tan y é contínua em todo y com y\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi.
  • Soma de funções contínuas é contínua no ponto onde ambas são definidas, logo f é contínua em todo ponto (x,y) com y\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi.
    Em símbolos:
f\\ \text{é contínua em}\\ \mathbb{R}\times\Big(\mathbb{R}\setminus\Big\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi:\,k\in\mathbb{Z}\Big\}\Big).éí

Passo 6

Mostrar que g(z)=z+1 é contínua:
  • g é soma da função identidade z\mapsto z com a constante 1. Ambas são contínuas em todo \mathbb{R}.
  • Logo g é contínua em todo z\in\mathbb{R}.

Passo 7

Aplicar a propriedade da composição:
  • Pelo Passo 5, f é contínua em todo (x,y) tal que y\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi.
  • Pelo Passo 6, g é contínua para todo z\in\mathbb{R}, em particular em z=f(x,y) sempre que f(x,y) esteja definido.
  • Portanto, pela regra da composição, \varphi=g\circ f é contínua em todo ponto (x,y) onde f está definida (porque então f e g são contínuas nos pontos necessários).
  • A expressão explícita da composição é
\varphi(x,y)=(g\circ f)(x,y)=f(x,y)+1=x+\tan y+1,
definida exatamente quando \tan y está definida.

Passo 8

Conclusão final (juntando tudo de forma clara e prática):
  • A composição \varphi(x,y)=x+\tan y+1 é contínua em todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 tais que y\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi para algum k\in\mathbb{Z}.
  • Nos pontos em que y=\dfrac{\pi}{2}+k\pi a função \tan y (e portanto f e \varphi) não está definida, logo aí não faz sentido falar em continuidade.

Resposta

\displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; y\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\}

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