Em cada item abaixo, verifique se o sistema associado à equação matricial AX=B é determinado e, em caso afirmativo, encontre sua solução de três formas: usando Regra de Cramer, usando a inversa de A e usando a forma escada de A
A=(lll1 & 2 & 0 2 & 3 & 1 1 & 1 & 0), X=(lx y z) e B=(l2 4 1)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema matricial A,X=B, com
A = 1 & 2 & 0 [6pt] 2 & 3 & 1 [6pt] 1 & 1 & 0, X = x[3pt]y[3pt]z, B = 2[3pt]4[3pt]1
Precisamos verificar se o sistema é determinado ( det(A)neq0) e, sendo único, resolver de três maneiras: Regra de Cramer, inversa de A e forma escada (eliminação de Gauss).]

Passo 2

Calculemos primeiro det(A):
det(A) =1cdotdet3&11&0 -2cdotdet2&11&0 +0cdotdet2&31&1 =1cdot(-1)-2cdot(-1)+0=1
Como det(A)=1neq0, o sistema é determinado e podemos aplicar a Regra de Cramer. Definimos:
Ax=2&2&04&3&11&1&0, Ay=1&2&02&4&11&1&0, Az=1&2&22&3&41&1&1
Calculando determinantes:
det(Ax)=0, det(Ay)=1, det(Az)=1. Logo, pela Regra de Cramer,
x=det(Ax)det(A)=0, y=det(Ay)det(A)=1, z=det(Az)det(A)=1

Passo 3

Agora usando a inversa de A. Como det(A)=1, basta achar a matriz adjunta. Os cofatores de A formam
C= -1 & 1 & -1 0 & 0 & 1 2 & -1 & -1 ,
então
adj(A)=C^T = -1 & 0 & 2 1 & 0 & -1 -1 & 1 & -1 , A^-1=1det(A),adj(A) = -1 & 0 & 2 1 & 0 & -1 -1 & 1 & -1
Multiplicando por B:
X=A^-1B =-1&0&21&0&-1-1&1&-1 241 =011

Passo 4

Por eliminação de Gauss, montamos a matriz aumentada:
Eliminando abaixo de :
Depois
Da terceira linha vem . Da segunda . Da primeira .

Resposta

O sistema é determinado e tem solução única
(x,y,z)=(0,1,1)

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