Dado A:(1,2). Ache o ponto B tal que o triângulo OAB seja equilátero.

Passo 1

O enunciado dá o ponto A=(1,2) e o ponto O=(0,0) e pede encontrar o ponto B de modo que o triângulo OAB seja equilátero. Vamos usar geometria vetorial e rotações de 60^circ em torno da origem.

Passo 2

Representamos A como o número complexo
a = 1 + 2i
e usamos que girar esse vetor em torno da origem de um ângulo theta corresponde a multiplicar por
e^itheta = costheta + isintheta

Passo 3

Para a rotação de theta = tfracpi3 (isto é, +60^circ) calculamos
b1 = (1 + 2i)l(tfrac12 + itfracraiz32r)
Desenvolvendo, o termo real é
1cdottfrac12 - 2cdottfracraiz32 = tfrac12 - raiz3
e o termo imaginário é
1cdottfracraiz32 + 2cdottfrac12 = tfracraiz32 + 1
Portanto,
b1 = l(tfrac12 - raiz3,;tfracraiz32 + 1r)

Passo 4

Para a rotação de theta = -tfracpi3 (isto é, -60^circ) calculamos
b2 = (1 + 2i)l(tfrac12 - itfracraiz32r)
Desenvolvendo, o termo real é
1cdottfrac12 + 2cdottfracraiz32 = tfrac12 + raiz3
e o termo imaginário é
-,1cdottfracraiz32 + 2cdottfrac12 = 1 - tfracraiz32
Logo,
b2 = l(tfrac12 + raiz3,;1 - tfracraiz32r)

Resposta

Os pontos B que formam com O e A um triângulo equilátero são
B = l(tfrac12 - raiz3,,1 + tfracraiz32r) ou B = l(tfrac12 + raiz3,,1 - tfracraiz32r)

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