Em cada item abaixo, verifique se o sistema associado à equação matricial AX=B é determinado e, em caso afirmativo, encontre sua solução de três formas: usando Regra de Cramer, usando a inversa de A e usando a forma escada de A
A=(ccc-1 & 2 & 3 0 & 2 & 1 3 & 2 & -2), X=(lx y z) e B=(l4 3 3),

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear associado à equação matricial
sendo
O conteúdo da matéria é resolução de sistemas lineares de ordem 3 e vamos usar três métodos: Regra de Cramer, inversa de e eliminação de Gauss (forma escada).

Passo 2

Primeiro, verificamos se o sistema é determinado calculando o determinante de A:
det(A) = -1cdotdet2&12&-2 -2cdotdet0&13&-2 +3cdotdet0&23&2
Calculando cada menor:
det2&12&-2=-6, det0&13&-2=-3, det0&23&2=-6
Logo,
det(A)=(-1)(-6)-2(-3)+3(-6)=6+6-18=-6neq0
Como det(A)neq0, o sistema é determinado e tem solução única.

Passo 3

Regra de Cramer.
Chamando D=det(A)=-6, substituímos a coluna correspondente em cada determinante:
Ax= 4&2&3 3&2&1 3&2&-2 , Ay= -1&4&3 0&3&1 3&3&-2 , Az= -1&2&4 0&2&3 3&2&3
Calcula-se
det(Ax)=-6, det(Ay)=-6, det(Az)=-6
Portanto
x=det(Ax)D=-6-6=1, y=det(Ay)D=-6-6=1, z=det(Az)D=-6-6=1

Passo 4

Inversa de A.
O adj(A) (matriz dos cofatores transposta) é
adj(A) = -6 & 10 & -4 3 & -7 & 1 -6 & 8 & -2 ^!T = -6 & 3 & -6 10 & -7 & 8 -4 & 1 & -2 ^!T = -6 & 10 & -4 3 & -7 & 1 -6 & 8 & -2
Como A^-1=1det(A)adj(A), temos
A^-1=1-6 -6 & 10 & -4 3 & -7 & 1 -6 & 8 & -2 = 1 & -tfrac53 & tfrac23 -tfrac12 & tfrac76 & -tfrac16 1 & -tfrac43 & tfrac13
Multiplicando por B:
X=A^-1B = 1 & -tfrac53 & tfrac23 -tfrac12 & tfrac76 & -tfrac16 1 & -tfrac43 & tfrac13 433 =111

Passo 5

Eliminação de Gauss (forma escada).
Augmentamos [Amid B]:
-1 & 2 & 3 &mid& 4 0 & 2 & 1 &mid& 3 3 & 2 & -2&mid& 3
  1. R3 R3+3R1
-1 & 2 & 3 &mid& 4 0 & 2 & 1 &mid& 3 0 & 8 & 7 &mid& 15
  1. R2 tfrac12R2, R3 R3-8R2
-1 & 2 & 3 &mid& 4 0 & 1 & tfrac12 &mid& tfrac32 0 & 0 & 3 &mid& 3
  1. R3 tfrac13R3
-1 & 2 & 3 &mid& 4 0 & 1 & tfrac12 &mid& tfrac32 0 & 0 & 1 &mid& 1
Retro-substituindo:
z=1, y+tfrac12cdot1=tfrac32implies y=1, -,x+2cdot1+3cdot1=4implies x=1

Resposta

x=1, y=1, z=1

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