Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial, aplicando o método do fator integrante. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução atende à mesma.
y^prime-2 y=e^2 x ; y(0)=2

Passo 1

Neste problema vamos resolver o PVI y' - 2y = e^2x com y(0) = 2 usando equações diferenciais lineares de 1ª ordem e o método do fator integrante. Precisaremos conhecer como colocar PVI na forma padrão, calcular o fator integrante e integrar para obter a solução geral.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão y' + P(x)y = Q(x). Observamos que y' - 2y = e^2x já está nessa forma com P(x) = -2 e Q(x) = e^2x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral -2,dx = e^-2x. Multiplicando a equação por mu(x) obtemos
e^-2xy' - 2e^-2xy = e^-2xe^2x = 1
O lado esquerdo é a derivada tfracddx[e^-2xy]. Integrando ambos os lados, temos
e^-2xy = integral 1,dx = x + C
Logo a solução geral é y = e^2x(x + C).

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0) = 2 para determinar C. Substituindo x = 0 em y = e^2x(x + C) resulta em 2 = e^0(0 + C), logo C = 2. Assim a solução particular é y = e^2x(x + 2).

Passo 5

Verificamos que essa solução satisfaz a equação original calculando
y' = ddx[e^2x(x+2)] = 2e^2x(x+2) + e^2x = e^2x(2x + 5)
e então
y' - 2y = e^2x(2x + 5) - 2e^2x(x+2) = e^2x(2x+5 - 2x -4) = e^2x,
confirmando que satisfaz a equação diferencial.

Resposta

y = e^2x(x + 2)

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