Considere a condução do calor numa barra de comprimento 30 cm . A barra esta isolada na superfície lateral e nas extremidades tem-se temperaturas
. Encontre uma expressão para a temperatura
se a distribuição de temperatura inicial é dada pela função
. Suponha a difusividade térmica
. É a série que define à solução convergente? Justifique seus resultados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre condução de calor numa barra. O problema fala sobre como a temperatura distribui ao longo do tempo numa barra de 30 cm de comprimento, que está isolada nas laterais e com as extremidades mantidas a 0°C. A gente precisa encontrar uma expressão para a temperatura
em qualquer ponto
e tempo
, sabendo que inicialmente a temperatura varia de acordo com
. Para resolver isso, vamos usar a teoria das equações diferenciais parciais, especificamente a equação do calor, e aplicar a série de Fourier para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação do calor, que descreve como a temperatura varia no tempo e no espaço. A equação é:
Aqui,
é a derivada da temperatura em relação ao tempo,
é a segunda derivada em relação ao espaço, e
é a difusividade térmica, que nesse caso é 1. Então nossa equação fica:
Essa equação nos diz como a temperatura
muda ao longo do tempo e do comprimento da barra.
Passo 3
As condições de contorno são que as extremidades da barra (em
e
) estão mantidas a 0°C:
Além disso, a condição inicial é que a temperatura inicial varia linearmente com
:
Agora, vamos usar a separação de variáveis para resolver essa equação.
Passo 4
Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de
e outra só de
:
Substituindo isso na equação do calor, temos:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Aqui,
é uma constante de separação. Isso nos leva a duas equações diferentes.
Passo 5
Primeiro, resolvemos a equação espacial:
Com as condições de contorno
e
. As soluções são funções senoidais, então temos:
onde
é um número inteiro positivo.
Passo 6
Agora, resolvemos a equação temporal:
A solução dessa equação é:
Isso significa que cada modo de temperatura decai exponencialmente ao longo do tempo.
Passo 7
A solução geral é uma soma desses modos:
Agora, precisamos encontrar os coeficientes
que se ajustam à condição inicial
.
Passo 8
Para encontrar os coeficientes
, usamos a série de Fourier. Multiplicamos ambos os lados da condição inicial por
e integramos de 0 a 30:
Resolvendo essa integral, encontramos os valores de
.
Passo 9
Após calcular os
, substituímos de volta na série para obter a expressão completa da temperatura
:
Essa série representa a distribuição de temperatura na barra ao longo do tempo.
Passo 10
Sobre a convergência da série: a série de Fourier que encontramos é convergente para a função inicial
. Isso porque
é uma função contínua e satisfaz as condições de Dirichlet nas extremidades da barra. Portanto, a série que definimos realmente converge para a solução da equação do calor nesse caso.
Resposta
A temperatura na barra é dada por
Além disso, essa série converge para a solução da distribuição de temperatura ao longo do tempo.