Considere a condução do calor numa barra de comprimento 30 cm . A barra esta isolada na superfície lateral e nas extremidades tem-se temperaturas u(0, t)=u(30, t)=0. Encontre uma expressão para a temperatura u(x, t) se a distribuição de temperatura inicial é dada pela função u(x, 0)=2 x, 0<x<30. Suponha a difusividade térmica alpha=1. É a série que define à solução convergente? Justifique seus resultados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre condução de calor numa barra. O problema fala sobre como a temperatura distribui ao longo do tempo numa barra de 30 cm de comprimento, que está isolada nas laterais e com as extremidades mantidas a 0°C. A gente precisa encontrar uma expressão para a temperatura u(x, t) em qualquer ponto x e tempo t , sabendo que inicialmente a temperatura varia de acordo com u(x, 0) = 2x . Para resolver isso, vamos usar a teoria das equações diferenciais parciais, especificamente a equação do calor, e aplicar a série de Fourier para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação do calor, que descreve como a temperatura varia no tempo e no espaço. A equação é:
ut = alpha uxx
Aqui, ut é a derivada da temperatura em relação ao tempo, uxx é a segunda derivada em relação ao espaço, e alpha é a difusividade térmica, que nesse caso é 1. Então nossa equação fica:
ut = uxx
Essa equação nos diz como a temperatura u muda ao longo do tempo e do comprimento da barra.

Passo 3

As condições de contorno são que as extremidades da barra (em x = 0 e x = 30 ) estão mantidas a 0°C:
u(0, t) = 0 e u(30, t) = 0
Além disso, a condição inicial é que a temperatura inicial varia linearmente com x :
u(x, 0) = 2x para 0 < x < 30
Agora, vamos usar a separação de variáveis para resolver essa equação.

Passo 4

Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de x e outra só de t :
u(x, t) = X(x)T(t)
Substituindo isso na equação do calor, temos:
X(x)T'(t) = X''(x)T(t)
Dividindo ambos os lados por X(x)T(t) , obtemos:
T'(t)T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação. Isso nos leva a duas equações diferentes.

Passo 5

Primeiro, resolvemos a equação espacial:
X''(x) + lambda X(x) = 0
Com as condições de contorno X(0) = 0 e X(30) = 0 . As soluções são funções senoidais, então temos:
Xn(x) = sin(npi x30)
onde n é um número inteiro positivo.

Passo 6

Agora, resolvemos a equação temporal:
T'(t) + lambda T(t) = 0
A solução dessa equação é:
Tn(t) = e^-(npi30)^2 t
Isso significa que cada modo de temperatura decai exponencialmente ao longo do tempo.

Passo 7

A solução geral é uma soma desses modos:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(npi x30) e^-(npi30)^2 t
Agora, precisamos encontrar os coeficientes Bn que se ajustam à condição inicial u(x, 0) = 2x .

Passo 8

Para encontrar os coeficientes Bn , usamos a série de Fourier. Multiplicamos ambos os lados da condição inicial por sin(mpi x30) e integramos de 0 a 30:
Bn = 230 integral0^30 2x sin(npi x30) dx
Resolvendo essa integral, encontramos os valores de Bn .

Passo 9

Após calcular os Bn , substituímos de volta na série para obter a expressão completa da temperatura u(x, t) :
u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(npi x30) e^-(npi30)^2 t
Essa série representa a distribuição de temperatura na barra ao longo do tempo.

Passo 10

Sobre a convergência da série: a série de Fourier que encontramos é convergente para a função inicial u(x, 0) = 2x . Isso porque 2x é uma função contínua e satisfaz as condições de Dirichlet nas extremidades da barra. Portanto, a série que definimos realmente converge para a solução da equação do calor nesse caso.

Resposta

A temperatura na barra é dada por
u(x, t) = sumn=1^infty 4 cdot (-1)^n+1npi sin(npi x30) e^-(npi30)^2 t
Além disso, essa série converge para a solução da distribuição de temperatura ao longo do tempo.

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