Calcule o limite das sequências seguintes.
an=1^2+2^2+3^2+cdots+n^2n^3

Passo 1

Temos a sequência
an = 1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + n^2n^3
O conteúdo envolvido é cálculo de limite de sequência usando soma de progressão de quadrados. Para resolver, vamos usar a fórmula fechada para
sumk=1^n k^2
e, em seguida, aplicar operações algébricas e o limite quando n to infty.

Passo 2

Usamos a fórmula conhecida
sumk=1^n k^2 = n(n+1)(2n+1)6

Passo 3

Substituindo na expressão de an, temos
an = n(n+1)(2n+1)6n^3 = n(n+1)(2n+1)6,n^3 = 2n^3 + 3n^2 + n6,n^3 = 16l(2 + 3n + 1n^2r)

Passo 4

Agora calculamos o limite. Quando n to infty, os termos tfrac3n e tfrac1n^2 tendem a zero. Logo,
limntoinfty an = 16l(2 + 0 + 0r) = 26 = 13

Resposta

13

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