Calcule o limite das sequências seguintes.
an=1-13+19-127+cdots+(-1)^n-13^n-1

Passo 1

Beleza! Vamos calcular o limite da sequência an = 1 - 13 + 19 - 127 + cdots + (-1)^n-13^n-1 .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com seções geométricas e limites de sequências.
O que vamos precisar: Saber somar uma sequência geométrica e entender como calcular o limite quando o número de termos vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de sequência que temos. Observa-se que cada termo seguinte é uma fração de 1/3 do termo anterior, e alterna o sinal. Isso caracteriza uma sequência geométrica alternada.
Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma sequência geométrica:
Sn = a1 (1 - r^n)1 - r
onde:
  • a1 é o primeiro termo,
  • r é a razão da sequência.

Passo 3

Vamos identificar a1 e r na nossa sequência.
  • Primeiro termo ( a1 ): É igual a 1.
  • Razão ( r ): Cada termo é multiplicado por -13 para chegar no próximo termo.
Então, r = -13 .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da soma dos n primeiros termos:
Sn = 1 cdot (1 - (-13)^n)1 - (-13)
Simplificando o denominador:
1 - (-13) = 1 + 13 = 43
Então, a expressão fica:
Sn = 1 - (-13)^n43 = 34 (1 - (-13)^n)

Passo 5

Agora, queremos encontrar o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty Sn = limn to infty 34 (1 - (-13)^n)
Observamos que (-13)^n tende a zero quando n cresce para o infinito, porque |13| < 1 .
Portanto:
limn to infty (-13)^n = 0

Passo 6

Substituindo o limite na expressão de Sn :
limn to infty Sn = 34 (1 - 0) = 34

Resposta

O limite da sequência é 34 .

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