Em cada item, calcule integral duplaD f(x, y) d A, em que D=[x1, x2] times[y1, y2].
f(x, y)=x y^2x^2+1 ; D=[0,1] times[-3,3]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
integral duplaD x y^2x^2+1,dA
em que D=[0,1]times[-3,3].
Vamos usar separação de variáveis em integrais duplas e técnicas de integração simples.

Passo 2

Observando que
x y^2x^2+1 =l(xx^2+1r)cdot y^2,
podemos escrever
integral duplaDf(x,y),dA =integral0^1integral-3^3x y^2x^2+1,dy,dx =integral0^1xx^2+1l(integral-3^3y^2,dyr),dx

Passo 3

Calculemos a parte em y:
integral-3^3y^2,dy =2integral0^3y^2,dy =2l[y^33r]0^3 =2cdot273 =18

Passo 4

Fica então
integral duplaDf(x,y),dA =18integral0^1xx^2+1,dx
Para integrar em x, use a substituição u=x^2+1, com du=2x,dx:
integral0^1xx^2+1,dx =12integral1^2duu =12[ln u]1^2 =12ln 2

Passo 5

Multiplicando o resultado de y por esse de x, obtemos
18cdot12ln 2 =9ln 2

Resposta

9ln 2

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