integral x^2 cos (3 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x^2 cos (3 x) , dx. Esse problema envolve o cálculo de integrais que combinam funções polinomiais e trigonométricas. Para resolver, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv.

Passo 3

Vamos escolher u = x^2. Então, derivando, temos:
du = 2x , dx
E o restante será dv = cos(3x) , dx. Integrando dv, obtemos:
v = integral cos(3x) , dx = sin(3x)3

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 cos(3x) , dx = u , v - integral v , du = x^2 cdot sin(3x)3 - integral sin(3x)3 cdot 2x , dx
Simplificando:
= x^2 sin(3x)3 - 23 integral x sin(3x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral x sin(3x) , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes.
Escolhemos u = x, então:
du = dx
E dv = sin(3x) , dx, então:
v = -cos(3x)3

Passo 6

Aplicando a integração por partes nessa nova integral:
integral x sin(3x) , dx = u , v - integral v , du = x cdot (-cos(3x)3) - integral (-cos(3x)3) , dx
Simplificando:
= -x cos(3x)3 + 13 integral cos(3x) , dx
Integrando cos(3x):
= -x cos(3x)3 + 13 cdot sin(3x)3 = -x cos(3x)3 + sin(3x)9

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
integral x^2 cos(3x) , dx = x^2 sin(3x)3 - 23 ( -x cos(3x)3 + sin(3x)9 )
Distribuindo -23:
= x^2 sin(3x)3 + 2x cos(3x)9 - 2 sin(3x)27

Resposta

A integral integral x^2 cos (3 x) , dx é igual a:
x^2 sin(3x)3 + 2x cos(3x)9 - 2 sin(3x)27 + C
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados