Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
(1) f(x)=x+1x-1
(2) f(x)=x^3+1x+2
(3) f(x)=4 x-x^4x^3+2
(4) f(x)=x sen(x)
(5) f(x)=cos (x^2)x
(6) f(x)=e^x^2-1
(7) f(x)=raizx tan ^2(x)
(8) f(x)=e^cos (x-1)
(9) f(x)=e^e^x
(10) f(x)=ln (e^x+1)
(11) f(x)=ln (x+raizx^2+1)
(12) f(x)=pi^x
(13) f(x)=2^sen(x)
(14) f(x)=2^cos (x) sen(x)
(15) f(x)=x^x
(16) f(x)=x^sen(x)
(17) f(x)=x^cos (x) sen(x)
(18) f(x)=arcsen(x)
(19) f(x)=arccos (x)
(20) f(x)=arctan (x)
(21) f(x)=x^2 e^arctan (x)
(22) f(x)=ln (arctan (x))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de 22 funções distintas, envolvendo regras de derivação de quociente, produto, cadeia, exponenciais, logaritmos, potências de base e expoente variáveis, e funções trigonométricas inversas. Para isso, vamos usar:
  • Regra do quociente: se f=u/v então
f'=u'v - u,v'v^2
  • Regra do produto: se f=uv então
f'=u'v + u,v'
  • Regra da cadeia: se f=e^g(x) então f'=e^g(x)g'(x); se f=ln g(x) então f'=g'(x)g(x); e análogas para potências e funções inversas.

Passo 2

Funções (1)–(3): usam a regra do quociente.
f1(x)=x+1x-1, u=x+1,;u'=1,;v=x-1,;v'=1
f1'(x)=1cdot(x-1)-(x+1)cdot1(x-1)^2 =x-1-x-1(x-1)^2 =-2(x-1)^2
f2(x)=x^3+1x+2, u'=3x^2,;v'=1
f2'(x)=3x^2(x+2)-(x^3+1)cdot1(x+2)^2 =3x^3+6x^2-x^3-1(x+2)^2 =2x^3+6x^2-1(x+2)^2
f3(x)=4x-x^4x^3+2, u'=4-4x^3,;v'=3x^2
f3'(x) =(4-4x^3)(x^3+2)-(4x-x^4),3x^2(x^3+2)^2 =-x^6-16x^3+8(x^3+2)^2

Passo 3

Funções (4)–(7): usam produto, quociente e cadeia.
f4(x)=xsin ximplies f4'(x)=1cdotsin x + xcos x=sin x + xcos x
f5(x)=cos(x^2)x,;u'=-2xsin(x^2),;v'=1
f5'(x) =-2xsin(x^2),x-cos(x^2)x^2 =-2x^2sin(x^2)-cos(x^2)x^2
f6(x)=e^x^2-1implies f6'(x)=e^x^2-1cdot2x=2x,e^x^2-1
f7(x)=raizxtan^2 x=(xtan^2 x)^1/2
f7'(x) =tfrac12(xtan^2 x)^-1/2l(tan^2 x +2xtan x,sec^2 xr) =tan^2 x +2xtan x,sec^2 x2raizxtan^2 x

Passo 4

Funções (8)–(12): exponenciais compostas, logaritmos e quociente.
f8(x)=e^cos(x-1)implies f8'(x) =e^cos(x-1)cdot(-sin(x-1))=-e^cos(x-1)sin(x-1)
f9(x)=e^e^ximplies f9'(x) =e^e^xcdot e^x = e^x,e^e^x
f10(x)=ln(e^x+1)implies f10'(x)=e^xe^x+1
f11(x)=lnl(x+raizx^2+1r)
f11'(x) =1 + xraizx^2+1x+raizx^2+1 =raizx^2+1+xraizx^2+1,l(x+raizx^2+1r) =1raizx^2+1
f12(x)=pi^x = e^xlnpiimplies f12'(x) =pi^xlnpi

Passo 5

Funções (13)–(17): potências de base fixa com expoente variável e potências de ambas variáveis.
f13(x)=2^sin x=e^sin xln2implies f13'(x)=2^sin xln2cdotcos x
f14(x)=2^cos xsin x,; u=2^cos x,;u'=2^cos xln2cdot(-sin x),;v=sin x,;v'=cos x
f14'(x) =2^cos x[-ln2,sin x]sin x +2^cos xcos x =2^cos xl(-ln2,sin^2 x +cos xr)
f15(x)=x^x,;ln f= xln ximplies f'f=ln x+1implies f15'(x)=x^x(ln x+1)
f16(x)=x^sin x,;ln f=sin xln ximplies f'f=cos xln x +sin xx
implies f16'(x)=x^sin xl(cos xln x +sin xxr)
f17(x)=x^cos xsin x,; u=x^cos x,;ln u=cos xln x
u'u=-sin xln x +cos xx,; v=sin x,;v'=cos x
f17'(x) =u'v+u,v' =x^cos xl(-sin xln x+tfraccos xxr)sin x +x^cos xcos x

Passo 6

Funções (18)–(22): derivadas de arcos, produtos com exponenciais de arctan e logaritmo de arctan.
f18(x)=arcsin ximplies f18'(x)=1raiz1-x^2
f19(x)=arccos ximplies f19'(x)=-1raiz1-x^2
f20(x)=arctan ximplies f20'(x)=11+x^2
f21(x)=x^2e^arctan x,; u=x^2,;u'=2x,; v=e^arctan x,;v'=e^arctan x1+x^2
f21'(x) =2x,e^arctan x + x^2,e^arctan x1+x^2
f22(x)=ln(arctan x)implies f22'(x)=1arctan xcdot11+x^2

Resposta

(1) f1'(x)=-dfrac2(x-1)^2
(2) f2'(x)=dfrac2x^3+6x^2-1(x+2)^2
(3) f3'(x)=dfrac-x^6-16x^3+8(x^3+2)^2
(4) f4'(x)=sin x + xcos x
(5) f5'(x)=dfrac-2x^2sin(x^2)-cos(x^2)x^2
(6) f6'(x)=2x,e^x^2-1
(7) f7'(x)=dfractan^2 x +2xtan x,sec^2 x2raizxtan^2 x
(8) f8'(x)=-e^cos(x-1)sin(x-1)
(9) f9'(x)=e^x,e^e^x
(10) f10'(x)=dfrace^xe^x+1
(11) f11'(x)=dfrac1raizx^2+1
(12) f12'(x)=pi^xlnpi
(13) f13'(x)=2^sin xln2cdotcos x
(14) f14'(x)=2^cos xl(-ln2,sin^2 x +cos xr)
(15) f15'(x)=x^x(ln x+1)
(16) f16'(x)=x^sin xl(cos xln x +sin xxr)
(17) f17'(x)=x^cos xl(-sin xln x+tfraccos xxr)sin x + x^cos xcos x
(18) f18'(x)=dfrac1raiz1-x^2
(19) f19'(x)=-dfrac1raiz1-x^2
(20) f20'(x)=dfrac11+x^2
(21) f21'(x)=2x,e^arctan x + dfracx^2,e^arctan x1+x^2
(22) f22'(x)=dfrac1arctan x,dfrac11+x^2

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