Em cada item, calcule integral duplaD f(x, y) d A, em que D=[x1, x2] times[y1, y2].
f(x, y)=1+8 x y ; D=[0,1] times[1,2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaDf(x,y),dA
onde f(x,y)=1+8xy e D=[0,1]times[1,2].
Como D é retângulo, vamos aplicar o Teorema de Fubini para transformar em integrais iteradas.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes usando linearidade:
integral duplaDf(x,y),dA =integral duplaD1,dA +8integral duplaDx,y,dA

Passo 3

Calculando a primeira parte,
integral duplaD1,dA =área(D) =(1-0)times(2-1) =1 á

Passo 4

Para a segunda parte usamos Fubini:
integral duplaDx,y,dA =integral0^1integral1^2x,y,dy,dx =integral0^1xl[tfracy^22r]1^2,dx =integral0^1xcdottfrac4-12,dx =tfrac32integral0^1x,dx =tfrac32cdottfrac12 =tfrac34
Logo, multiplicando por 8,
8integral duplaDx,y,dA =8cdottfrac34 =6

Passo 5

Somando as duas partes obtém-se
integral duplaDf(x,y),dA =1+6 =7

Resposta

7

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