(Miscelânea ) Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
sumn=1^+infty (-1)^n+1 cos (n pi)pi^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a série sumn=1^+infty (-1)^n+1 cos(n pi)pi^n é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas, especificamente a série geométrica e testes de convergência. Vamos passo a passo entender como resolver essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão cos(n pi) . Sabemos que cos(n pi) alterna entre 1 e -1 conforme o valor de n . De fato, cos(n pi) = (-1)^n . Então, substituindo na série, temos:
(-1)^n+1 cos(n pi)pi^n = (-1)^n+1 cdot (-1)^npi^n = (-1)^2n+1pi^n = (-1)^1pi^n = -1pi^n
Então, a série original se simplifica para:
sumn=1^+infty -1pi^n = -sumn=1^+infty 1pi^n

Passo 3

Agora, reconhecemos que sumn=1^+infty 1pi^n é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma sumn=0^+infty ar^n , onde a é o primeiro termo e r é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, começando de n=1 , a série é:
sumn=1^+infty 1pi^n = 1pi + 1pi^2 + 1pi^3 + dots
Aqui, a = 1pi e r = 1pi .

Passo 4

Para uma série geométrica sum ar^n convergir, a razão |r| precisa ser menor que 1, ou seja, |r| < 1 . Isso porque, conforme n cresce, os termos tendem a zero apenas se |r| < 1 .
No nosso caso, r = 1pi . Sabemos que pi approx 3,14 , então 1pi approx 0,318 , que é menor que 1. Portanto, a série geométrica converge.

Passo 5

Como a série sumn=1^+infty 1pi^n converge e a nossa série original é apenas essa série multiplicada por -1, isso não afeta a convergência. Multiplicar uma série convergente por uma constante (nesse caso, -1) mantém a convergência.

Resposta

A série sumn=1^+infty (-1)^n+1 cos(n pi)pi^n é convergente.

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