(Miscelânea ) Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a série
é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas, especificamente a série geométrica e testes de convergência. Vamos passo a passo entender como resolver essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
alterna entre 1 e -1 conforme o valor de
. De fato,
. Então, substituindo na série, temos:
Então, a série original se simplifica para:
Passo 3
Agora, reconhecemos que
é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, começando de
, a série é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Para uma série geométrica
convergir, a razão
precisa ser menor que 1, ou seja,
. Isso porque, conforme
cresce, os termos tendem a zero apenas se
.
No nosso caso,
. Sabemos que
, então
, que é menor que 1. Portanto, a série geométrica converge.
Passo 5
Como a série
converge e a nossa série original é apenas essa série multiplicada por -1, isso não afeta a convergência. Multiplicar uma série convergente por uma constante (nesse caso, -1) mantém a convergência.
Resposta
A série
é convergente.