Utilizando séries, encontre a geratriz das seguintes dízimas periódicas:
0,2222…
0,2222…
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a geratriz da dízima periódica 0,2222… usando séries. Isso envolve trabalhar com séries geométricas e compreender como elas se relacionam com dízimas periódicas. Então, vamos precisar saber sobre séries infinitas, especialmente séries geométricas, e como representar números periódicos através delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma dízima periódica. No caso, temos 0,2222…, que é um número decimal que se repete infinitamente. Podemos escrever isso como uma série infinita:
Passo 3
Agora, vamos representar essa série de forma matemática. Observamos que cada termo após a vírgula é 10 vezes menor que o anterior. Então, podemos expressar a série assim:
Passo 4
Perceba que cada termo é 0,2 multiplicado por uma potência de 0,1. Assim, podemos reescrever a série usando potências de 0,1:
Passo 5
A parte dentro dos parênteses é uma série geométrica infinita com primeiro termo 1 e razão
. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 6
Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
Passo 7
Substituindo a soma de volta na expressão da série
:
Passo 8
Calculando o valor de
:
Passo 9
Agora, para encontrar a geratriz, consideramos que a dízima periódica pode ser representada como uma função geradora. Nesse caso, temos:
Resposta
A geratriz da dízima periódica 0,2222… é
.