Utilizando séries, encontre a geratriz das seguintes dízimas periódicas:
0,2222…

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a geratriz da dízima periódica 0,2222… usando séries. Isso envolve trabalhar com séries geométricas e compreender como elas se relacionam com dízimas periódicas. Então, vamos precisar saber sobre séries infinitas, especialmente séries geométricas, e como representar números periódicos através delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma dízima periódica. No caso, temos 0,2222…, que é um número decimal que se repete infinitamente. Podemos escrever isso como uma série infinita:
0,2222 = 0,2 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + dots

Passo 3

Agora, vamos representar essa série de forma matemática. Observamos que cada termo após a vírgula é 10 vezes menor que o anterior. Então, podemos expressar a série assim:
S = 0,2 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + dots

Passo 4

Perceba que cada termo é 0,2 multiplicado por uma potência de 0,1. Assim, podemos reescrever a série usando potências de 0,1:
S = 0,2 times (1 + 0,1 + 0,1^2 + 0,1^3 + dots)

Passo 5

A parte dentro dos parênteses é uma série geométrica infinita com primeiro termo 1 e razão r = 0,1 . A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Soma = a11 - r
onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.

Passo 6

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
Soma = 11 - 0,1 = 10,9 = 109

Passo 7

Substituindo a soma de volta na expressão da série S :
S = 0,2 times 109

Passo 8

Calculando o valor de S :
S = 210 times 109 = 29

Passo 9

Agora, para encontrar a geratriz, consideramos que a dízima periódica pode ser representada como uma função geradora. Nesse caso, temos:
f(x) = 29

Resposta

A geratriz da dízima periódica 0,2222… é f(x) = dfrac29 .

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