(Miscelânea ) Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente decidir se a série
converge ou diverge. Isso faz parte do conteúdo de séries infinitas em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender alguns testes de convergência, como o Teste da Raiz ou o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Perceba que, conforme
aumenta, o denominador cresce muito rápido porque está elevado a uma potência que também aumenta com
. Isso sugere que os termos vão tendendo a zero rapidamente.
Passo 3
Vamos usar o Teste da Raiz, que é útil quando os termos envolvem potências. O teste diz que se
:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui,
.
Passo 4
Calculando a raiz enésima de
:
À medida que
vai para o infinito,
tende a zero, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite:
Como o limite
é menor que 1, pelo Teste da Raiz, a série converge.
Resposta
A série
converge.