(Miscelânea ) Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
sumn=1^+infty 1(n+1)^n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente decidir se a série sumn=1^+infty 1(n+1)^n+1 converge ou diverge. Isso faz parte do conteúdo de séries infinitas em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender alguns testes de convergência, como o Teste da Raiz ou o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: 1(n+1)^n+1. Perceba que, conforme n aumenta, o denominador cresce muito rápido porque está elevado a uma potência que também aumenta com n. Isso sugere que os termos vão tendendo a zero rapidamente.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Raiz, que é útil quando os termos envolvem potências. O teste diz que se limn to +infty raiz[n]|an| = L:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Aqui, an = 1(n+1)^n+1.

Passo 4

Calculando a raiz enésima de an:
raiz[n]an = raiz[n]1(n+1)^n+1 = 1(n+1)^1 + 1n
À medida que n vai para o infinito, 1n tende a zero, então:
limn to +infty 1(n+1)^1 + 1n = limn to +infty 1(n+1)

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite:
limn to +infty 1n+1 = 0
Como o limite L = 0 é menor que 1, pelo Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 1(n+1)^n+1 converge.

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