Em cada item, calcule d x / d t, d y / d t e d y / d x. Após isso, encontre uma equação para a reta que é tangente à curva no ponto dado pelo valor de t0 fornecido.
lx=raizt y=t^2-2 t, t0=4.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=raizt, y=t^2-2t
e pede primeiro as derivadas dxdt, dydt e depois dydx. Em seguida, no ponto correspondente a t0=4, queremos a equação da reta tangente à curva. Para isso vamos usar:
  • derivação de funções de t,
  • a fórmula
dydx=dydtdxdt,
  • e a forma ponto-inclinação da reta tangente
y-y0=m,(x-x0)

Passo 2

Calculamos as derivadas em geral:
dxdt=ddtl(t^1/2r)=12t^-1/2=12raizt,
dydt=ddtl(t^2-2tr)=2t-2
Logo
dydx =dy/dtdx/dt =2t-2tfrac12raizt =(2t-2),2raizt =4(t-1)raizt

Passo 3

Agora avaliamos em t0=4:
dxdt|t=4=12raiz4=12cdot2=14,
dydt|t=4=2cdot4-2=8-2=6,
dydx|t=4=4,(4-1)raiz4=4cdot3cdot2=24

Passo 4

As coordenadas do ponto na curva para t=4 são
x0=raiz4=2,
y0=4^2-2cdot4=16-8=8

Passo 5

A reta tangente no ponto (x0,y0)=(2,8) com coeficiente angular m=24 vem de
y-y0=m,(x-x0)
ou seja
y-8=24,(x-2)
e, isolando y,
y=24x-48+8=24x-40

Resposta

dxdt=12raizt, dydt=2t-2, dydx=4(t-1)raizt,
avaliando em t=4:
dxdt=tfrac14, dydt=6, dydx=24,
reta tangente:
y=24x-40

Exercícios relacionados