Calcule as seguintes integrais.
integral0^2 integraly^2^4 y cos x^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^2!integraly^2^4ycosl(x^2r),dx,dy
O conteúdo aqui é troca da ordem de integração (Teorema de Fubini) para simplificar a parte em x, pois cos(x^2) não tem primitiva elementar, mas aparece em combinação xcos(x^2), cuja primitiva é acessível por substituição.

Passo 2

Vamos descrever o domínio R:
R=(x,y)mid 0<= y<=2,;y^2<= x<=4
Invertendo a ordem, x varia de 0 a 4 e, para cada x, y varia de 0 a raizx. Assim,
integral0^2!integraly^2^4ycos(x^2),dx,dy = integralx=0^4!integraly=0^raizxy,dy;cos(x^2),dx
Calculamos primeiro
integral0^raizxy,dy =12,x
Logo a integral vira
integral0^4x2cos(x^2),dx

Passo 3

Para avaliar
integral0^4x2cos(x^2),dx
fazemos a substituição t=x^2, de modo que dt=2x,dx ou x,dx=dt/2. Então
12integral0^4xcos(x^2),dx =12integralt=0^16cos(t),dt2 =14integral0^16cos(t),dt =14l[sin(t)r]0^16 =sin(16)4

Resposta

sin(16)4

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