Esboce a região de integração e faça a mudança da ordem de integração.
integral0^1 integraly-1^2-2 y f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
integral0^1integraly-1^2-2yf(x,y),dx,dy
e pede para esboçar a região de integração
R=(x,y)mid 0<= y<=1,;y-1<= x<= 2-2y
e então trocar a ordem de integração.

Passo 2

As fronteiras de R são as retas
x=y-1, x=2-2y, y=0, y=1
Para desenhar, note que
  • x=y-1 intercepta o eixo y=0 em x=-1 e o eixo y=1 em x=0.
  • x=2-2y intercepta o eixo y=0 em x=2 e o eixo y=1 em x=0.

Passo 3

O triângulo R tem vértices em
(-1,0),;(2,0),;(0,1)
De fato, as duas retas se cruzam em x=y-1=2-2yRightarrow x=0,;y=1.

Passo 4

Para inverter a ordem, primeiro vemos que x varia de -1 até 2. Dado um x fixo, y deve satisfazer
0<= y<=1, y-1<= x(Leftrightarrow y<= x+1), x<=2-2y(Leftrightarrow y<=tfrac2-x2)
Logo
0<= y<=minl(x+1,tfrac2-x2,1r)
Comparando x+1 e tfrac2-x2:
x+1<=tfrac2-x2iff3x<=0iff x<=0
Assim, para -1<= x<=0 o teto é y=x+1, e para 0<= x<=2 o teto é y=tfrac2-x2.

Passo 5

A integral com ordem trocada fica
integralx=-1^0integraly=0^,x+1f(x,y),dy,dx ;+; integralx=0^2integraly=0^2-x2f(x,y),dy,dx

Resposta

integral-1^0integral0^,x+1f(x,y),dy,dx ;+; integral0^2integral0^2-x2f(x,y),dy,dx

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