4-( 1,5 cada item)Calcule a área da região délimitada pelas curvas:
y=x, y=x^{2}, y=\frac{4}{x-1}

Passo 1

O enunciado quer a área da região fechada pelas curvas \;y=x, \;y=x^2 e \;y=\frac{4}{x-1}.
O conteúdo é cálculo de área entre curvas, que exige achar os pontos de interseção e montar integrais do tipo
\text{área}=\int (y_\text{topo}-y_\text{fundo})\,dx.á

Passo 2

Calculamos os pontos de interseção:
  1. y=x com y=x^2
x=x^2\;\Longrightarrow\;x(x-1)=0\;\Longrightarrow\;x=0,1.
  1. y=x com y=\frac{4}{x-1}
x=\frac{4}{x-1}\;\Longrightarrow\;x(x-1)=4\;\Longrightarrow\;x^2-x-4=0 \;\Longrightarrow\;x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}.
  1. y=x^2 com y=\frac{4}{x-1}
x^2=\frac{4}{x-1}\;\Longrightarrow\;x^2(x-1)=4\;\Longrightarrow\;x^3-x^2-4=0
e testando x=2 vemos que é raiz única real.
Escolhemos os três vértices que fecham a região:
A=(1,1),\quad B=(2,4),\quad C=\Bigl(\tfrac{1+\sqrt{17}}{2},\tfrac{1+\sqrt{17}}{2}\Bigr).

Passo 3

Para x entre 1 e 2 temos
y_\text{topo}=x^2,\quad y_\text{fundo}=x,
pois x< x^2<\tfrac{4}{x-1}.
Para x entre 2 e \alpha=\tfrac{1+\sqrt{17}}{2} temos
y_\text{topo}=\frac{4}{x-1},\quad y_\text{fundo}=x,
pois x<\tfrac{4}{x-1}<x^2.
Logo a área é
\int_{1}^{2}\bigl(x^2 - x\bigr)\,dx \;+\;\int_{2}^{\alpha}\!\Bigl(\frac{4}{x-1}-x\Bigr)\,dx.

Passo 4

Calculando cada integral:
  1. \displaystyle\int_{1}^{2}(x^2 - x)\,dx =\bigl[\tfrac{x^3}{3}-\tfrac{x^2}{2}\bigr]_{1}^{2} =\Bigl(\tfrac{8}{3}-2\Bigr)-\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac12\Bigr) =\tfrac{5}{6}.
  2. \displaystyle\int_{2}^{\alpha}\!\Bigl(\tfrac{4}{x-1}-x\Bigr)\,dx =4\bigl[\ln|x-1|\bigr]_{2}^{\alpha}-\bigl[\tfrac{x^2}{2}\bigr]_{2}^{\alpha} =4\ln(\alpha-1)-\bigl(\tfrac{\alpha^2}{2}-2\bigr).

Passo 5

Substituindo \displaystyle\alpha=\frac{1+\sqrt{17}}2:
\alpha-1=\frac{\sqrt{17}-1}2,\quad \alpha^2=\frac{9+\sqrt{17}}2.
Então a segunda parte fica
4\ln\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{17}-1}2\Bigr)\;-\;\Bigl(\tfrac{9+\sqrt{17}}4-2\Bigr) =4\ln\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{17}-1}2\Bigr)\;-\;\frac{1+\sqrt{17}}4.
Somando à primeira parte \tfrac56 e reunindo em denominador comum, obtemos
\text{área} =4\ln\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{17}-1}2\Bigr)\;+\;\frac{7-3\sqrt{17}}{12}.á

Resposta

\boxed{ \text{Área} =4\ln\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{17}-1}{2}\Bigr)\;+\;\frac{7-3\sqrt{17}}{12}. }Á

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