Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em tomo do eixo indicado. (Se for possível, calcule.)
y=\sqrt{1-x^{2}}, \quad-1 \leq x \leq 1, \quad eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar a curva
y = \sqrt{1 - x^{2}},\quad -1 \le x \le 1
em torno do eixo x.
O conteúdo é área de superfície de revolução, que usa a fórmula
S = 2\pi \int_{a}^{b} y \,\sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
y = (1 - x^{2})^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{1}{2}(1 - x^{2})^{-1/2} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

Passo 3

Montamos a integral de superfície usando a=-1 e b=1:
S = 2\pi \int_{-1}^{1} y \,\sqrt{1 + (y')^{2}}\;dx.

Passo 4

Simplificamos o integrando. Primeiro,
1 + (y')^{2} = 1 + \frac{x^{2}}{1 - x^{2}} = \frac{1 - x^{2} + x^{2}}{1 - x^{2}} = \frac{1}{1 - x^{2}},
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\sqrt{1 + (y')^{2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}.
Então
y \,\sqrt{1 + (y')^{2}} = \sqrt{1 - x^{2}}\;\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 1.

Passo 5

A integral vira
S = 2\pi \int_{-1}^{1} 1 \;dx = 2\pi \bigl[x\bigr]_{-1}^{1} = 2\pi (1 - (-1)) = 4\pi.

Resposta

A área da superfície é 4\pi.

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