Para cada item, calcule f+g, f-g, f cdot g, f / g, f0 g, g0 f, k cdot f, onde k é uma constante.
f(x)=2 x
g(x)=x^2+1

Passo 1

O enunciado dá duas funções
f(x)=2x,
g(x)=x^2+1
e pede para calcular as operações usuais da álgebra de funções: soma, diferença, produto, quociente, composição (nos dois sentidos) e multiplicação por constante. Para cada operação vamos usar a definição padrão, por exemplo
(f+g)(x)=f(x)+g(x), (fcdot g)(x)=f(x),g(x),
e assim por diante.

Passo 2

Vamos somar e subtrair as funções usando
(f+g)(x)=f(x)+g(x),
(f-g)(x)=f(x)-g(x)
Como f(x)=2x e g(x)=x^2+1, temos:
(f+g)(x)=2x + (x^2+1)=x^2+2x+1,
(f-g)(x)=2x - (x^2+1)=-x^2+2x-1

Passo 3

Para o produto usamos
(fcdot g)(x)=f(x),g(x)
Logo
(fcdot g)(x)=2x,(x^2+1)=2x^3+2x

Passo 4

Para o quociente usamos
l(tfracfgr)(x)=f(x)g(x),
desde que g(x)neq0. Aqui g(x)=x^2+1>0 para todo x, então
l(tfracfgr)(x)=2xx^2+1

Passo 5

Na composição temos, por definição,
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r),
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)
Substituindo:
(fcirc g)(x)=f(x^2+1)=2,(x^2+1)=2x^2+2,
(gcirc f)(x)=g(2x)=(2x)^2+1=4x^2+1

Passo 6

Finalmente, a multiplicação por uma constante k usa
(kcdot f)(x)=k,f(x)
Logo
(kcdot f)(x)=k,(2x)=2k,x

Resposta

(f+g)(x) = x^2 + 2x + 1
(f-g)(x) = -x^2 + 2x - 1
(f cdot g)(x) = 2x^3 + 2x
l(tfracfgr)(x) = 2xx^2 + 1
(f circ g)(x) = 2x^2 + 2
(g circ f)(x) = 4x^2 + 1
(k cdot f)(x) = 2k cdot x

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