(a) Mostrar que integral cot (x) d x=ln |sin (x)|+C.
(b) Calcular integral cot (1x)x^2 d x.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem dois exercícios bem parecidos:
(a) Mostrar que
integral cot(x),dx = lnl|sin(x)r| + C.
(b) Calcular
integral cotl(tfrac1xr)x^2,dx.
Conteúdo: integrais imediatas, substituição e cadeia.
O que a gente vai usar:
  • Cotangente como cot x = cos xsin x.
  • Saber que ddxsin(x)=cos(x).
  • Técnica de substituição para reduzir a integral a integral duu.

Passo 2

Resolvendo (a):
  1. Escreve cot(x) como cos(x)sin(x). Então
integral cot(x),dx = integral cos(x)sin(x),dx
  1. Reconhece que sin(x) é nosso “u” (substituição):
    u = sin(x) ⇒ du = cos(x),dx.
  2. A integral vira
integral 1u,du,
que a gente já sabe que é ln|u| + C.
4) Volta pra variável original:
integral cot(x),dx = lnl|sin(x)r| + C

Passo 3

Resolvendo (b):
integral cotl(tfrac1xr)x^2,dx.
  1. Faz substituição para o argumento da cotangente:
    t = tfrac1x.
    Então dt = -tfrac1x^2,dx, ou seja
    dxx^2 = -,dt.
  2. A integral fica
integral cotl(tfrac1xr),dxx^2 = integral cot(t),l(-dtr) = -integral cot(t),dt
  1. Mas do item (a) já sabemos que
    integral cot(t),dt = lnl|sin(t)r| + C.
  2. Então
- integral cot(t),dt = -lnl|sin(t)r| + C = -lnl|sin(1/x)r| + C

Resposta

(a) lnl|sin(x)r| + C
(b) -lnl|sin(1/x)r| + C

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