Calcular as integrais indefinidas a seguir.
(a) I=integral(1+e^-a x)^32 e^-a x d x, a>0

Passo 1

Resumo da questão: a gente precisa achar a integral indefinida
I=integrall(1+e^-axr)^3/2,e^-ax,dx com a>0.
Matéria: Cálculo de integrais indefinidas.
O que vamos usar:
  • Técnica de substituição (u-substitution).
  • Regra de potência para integrais: integral u^n,du = dfracu^n+1n+1+C.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 + e^-ax
Agora derivamos ambos os lados em relação a x:
du = ddxl(1 + e^-axr),dx = -a,e^-ax,dx
Isolando e^-ax,dx:
e^-ax,dx = -1a,du

Passo 3

Substituindo na integral original:
I = integral (1 + e^-ax)^3/2,e^-ax,dx = integral u^3/2;l(-1a,dur) = -1a,integral u^3/2,du
Agora aplicamos a regra de potência:
integral u^3/2,du = u^(3/2)+1(3/2)+1 + C = u^5/25/2 + C = 25,u^5/2 + C

Passo 4

Voltando à variável x, lembrando que u = 1 + e^-ax:
I = -1a,l(25,u^5/2r) + C = -25a,l(1 + e^-axr)^5/2 + C

Resposta

boxedI = -25a,l(1 + e^-axr)^5/2 + C

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