Questão 3 - Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, em que C é a curva dada pela função vetorial r(t)=(sin t, cos t, t^2) no intervalo [0, pi2] F(x, y, z)=(x^2, x y, z^2).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de um campo vetorial em R^3, isto é,
integralCFcdot dr
onde C é dado por r(t)=(sin t,cos t,t^2), tin[0,pi/2], e
F(x,y,z)=(x^2,,xy,,z^2). O método consiste em parametrizar a curva, calcular F(r(t)), obter r'(t), fazer o produto escalar e integrar no intervalo dado.

Passo 2

Substituindo na definição de F e derivando r:
F(r(t)) =l(sin^2t,;sin tcos t,;t^4r),
r'(t) =l(cos t,,-sin t,;2tr)

Passo 3

O produto escalar é
F(r(t))cdotr'(t) =sin^2tcos t ;+;sin tcos t;(-sin t);+;t^4cdot2t
Os dois primeiros termos se cancelam ( sin^2tcos t-sin^2tcos t=0), sobrando
F(r(t))cdotr'(t)=2t^5

Passo 4

Agora integramos de 0 a pi/2:
integral0^pi22t^5,dt =2l[t^66r]0^pi2 =13l(pi2r)^6 =pi^6192

Resposta

pi^6192

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