Mostrar que integral 1(a x)^2+a^2 d x=1a^2 arctan x+C, a neq 0.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que
integral 1(a x)^2+a^2,dx ;=;1a^2arctan(x)+C,
sendo aneq 0.
Isso é um exercício de Cálculo I, onde vamos usar:
  1. manipulação algébrica pra simplificar o integrando,
  2. a propriedade de linearidade da integral,
  3. a integral padrão integraldxx^2+1=arctan(x)+C.

Passo 2

Primeiro, olha o que tá rolando no denominador:
(ax)^2 + a^2 = a^2,(x^2+1)
Então
1(ax)^2 + a^2 = 1a^2,(x^2+1) = 1a^2;cdot;1x^2+1
Aí a integral vira
integral 1(ax)^2 + a^2,dx = integral l(1a^2cdot1x^2+1r),dx = 1a^2integral dxx^2+1,
onde usei que integral ccdot f(x),dx = cintegral f(x),dx.

Passo 3

Agora a gente lembra do resultado clássico de integrais:
integral dxx^2+1 = arctan(x) + C
Por que isso é verdade? Porque, de fato,
dfracddx[arctan(x)] = dfrac11+x^2.
Logo, uma antiderivada de 1x^2+1 é arctan(x).
Juntando tudo:
1a^2integral dxx^2+1 = 1a^2l(arctan(x)+Cr) = 1a^2arctan(x) + C

Resposta

boxedintegral 1(a x)^2+a^2,dx = 1a^2arctan(x) + C, aneq 0

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