Em cada item, calcule ru, rv, ru times rv e |ru times rv| (ou seus correspondentes em itens nos quais os parâmetros não são u e v ).
lx=4 cos theta y=4 sen theta z=z.

Passo 1

O enunciado descreve a superfície cilíndrica de raio 4 dada pelos parâmetros theta e z
x=4costheta, y=4sintheta, z=z
O conteúdo é parametrização de superfície, e vamos precisar calcular as derivadas parciais rtheta e rz, depois o produto vetorial rthetatimesrz e sua norma.

Passo 2

Escrevendo a função vetor
r(theta,z)=lang<=4costheta,;4sintheta,;zrang<=
e derivando em relação a theta e a z, obtemos
rtheta=llang<= -4sintheta,;4costheta,;0rrang<=, rz=llang<= 0,;0,;1rrang<=

Passo 3

Calculamos o produto vetorial usando o determinante
rthetatimesrz = i&j&k -4sintheta&4costheta&0 0&0&1 =llang<= 4costheta,;4sintheta,;0rrang<=

Passo 4

A norma do produto vetorial é
l|rthetatimesrzr| =raiz(4costheta)^2+(4sintheta)^2 =4

Resposta

rtheta=lang<= -4sintheta,,4costheta,,0rang<=
rz=lang<= 0,,0,,1rang<=
rthetatimesrz=lang<= 4costheta,,4sintheta,,0rang<=
|rthetatimesrz|=4

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