Prove que uma função
é integrável se, dado qualquer
, existem funções escadas
e
,
e
.
Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),… :
Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),… :
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência entre a integrabilidade de Darboux de uma função
(ou seja,
) e a existência, para todo
, de funções escada
e
tais que
e
Usaremos a definição de integrais superior e inferior de Darboux, construindo
e
a partir de uma partição que torna
pequeno, e depois faremos o recíproco.
Passo 2
Suponha primeiro que
é integrável, isto é,
Dados
, existe uma partição
tal que
onde
Passo 3
Defina as funções escada
e
constantes em cada subintervalo
por
Então claramente
e, pelas fórmulas de soma de Riemann para escada,
Logo
Passo 4
Agora, suponha que para todo
existam funções escada
tais que
Sejam
e
as partições que geram
e
. Tome
uma partição refinamento comum de
e
. Em cada subintervalo de
temos
logo
Desse modo
o que mostra que
, isto é,
é integrável.
Resposta
Fica demonstrada a equivalência:
é integrável se, e somente se, dado
existem escadas
com
.