Prove que uma função f é integrável se, dado qualquer varepsilon>0, existem funções escadas phi e varphi, com varphi <= f <= phi e phi-varphi<varepsilon.
Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),… :

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre a integrabilidade de Darboux de uma função fcolon [a,b]toR (ou seja, supPL(f,P)=infPU(f,P)) e a existência, para todo varepsilon>0, de funções escada varphi e phi tais que
varphi(x)<= f(x)<= phi(x) em [a,b],
e
integrala^bphi(x),dx ;-;integrala^bvarphi(x),dx <varepsilon
Usaremos a definição de integrais superior e inferior de Darboux, construindo phi e varphi a partir de uma partição que torna U(f,P)-L(f,P) pequeno, e depois faremos o recíproco.

Passo 2

Suponha primeiro que f é integrável, isto é,
infPU(f,P);-;supPL(f,P)=0
Dados varepsilon>0, existe uma partição P=a=x0<x1<cdots<xn=b tal que
U(f,P);-;L(f,P)<varepsilon,
onde
U(f,P)=sumk=1^nl(supxin[xk-1,xk]f(x)r)(xk-xk-1),
L(f,P)=sumk=1^nl(infxin[xk-1,xk]f(x)r)(xk-xk-1)

Passo 3

Defina as funções escada phi e varphi constantes em cada subintervalo [xk-1,xk) por
phi(x)=suptin[xk-1,xk]f(t), varphi(x)=inftin[xk-1,xk]f(t)
Então claramente varphi(x)<= f(x)<=phi(x) e, pelas fórmulas de soma de Riemann para escada,
integrala^bphi(x),dx =U(f,P), integrala^bvarphi(x),dx =L(f,P)
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integrala^bphi(x),dx ;-;integrala^bvarphi(x),dx =U(f,P)-L(f,P) <varepsilon

Passo 4

Agora, suponha que para todo varepsilon>0 existam funções escada varphi<= f<= phi tais que
integrala^bphi-integrala^bvarphi<varepsilon
Sejam Pphi e Pvarphi as partições que geram phi e varphi. Tome P uma partição refinamento comum de Pphi e Pvarphi. Em cada subintervalo de P temos
inf f;>=;infvarphi, sup f;<=;supphi,
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L(f,P);>=;integrala^bvarphi, U(f,P);<=;integrala^bphi
Desse modo
U(f,P)-L(f,P) <= integrala^bphi - integrala^bvarphi <varepsilon,
o que mostra que infPU(f,P)-supPL(f,P)=0, isto é, f é integrável.

Resposta

Fica demonstrada a equivalência: f é integrável se, e somente se, dado varepsilon>0 existem escadas varphi<= f<=phi com
integrala^bphi-integrala^bvarphi<varepsilon.

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