Find Lcosh 2 t cos 2 t.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função cosh(2t)cos(2t). Vamos usar a definição de transformada
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
e aplicar a representação em termos de exponenciais para cosh e cos:
cosh(2t)=e^2t+e^-2t2, cos(2t)=e^i2t+e^-i2t2

Passo 2

Substituindo essas expressões no produto e usando linearidade,
cosh(2t)cos(2t) =14l(e^2t+e^-2tr)l(e^i2t+e^-i2tr) =14l(e^(2+2i)t+e^(2-2i)t+e^(-2+2i)t+e^(-2-2i)tr)
Logo,
Lcosh(2t)cos(2t) =14l[1s-(2+2i)+1s-(2-2i) +1s-(-2+2i)+1s-(-2-2i)r]

Passo 3

Agrupamos termos conjugados para obter apenas expressões reais:
1s-(2+2i)+1s-(2-2i) =2l(s-2r)(s-2)^2+4, 1s-(-2+2i)+1s-(-2-2i) =2l(s+2r)(s+2)^2+4
Portanto
Lcosh(2t)cos(2t) =12l[s-2(s-2)^2+4+s+2(s+2)^2+4r]

Passo 4

Agora unimos as frações em um único quociente. O denominador comum é
(s-2)^2+4 vezes (s+2)^2+4, que expande para
l(s^2-4s+8r)l(s^2+4s+8r) =s^4+64
O numerador, ao somar
(s-2)(s^2+4s+8)+(s+2)(s^2-4s+8), fica igual a 2s^3.
Com o fator tfrac12 surge finalmente
s^3s^4+64

Resposta

Lcosh(2t)cos(2t)(s) =s^3s^4+64

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